image restoration（IR） task
一般的，image restoration(IR)任务旨在从观察的退化变量$y$(退化模型，如式子1)中，恢复潜在的干净图像$x$
$y \text{} =\text{}\textbf{H}x\text{}+\text{}v $
where $\textbf{H}$denotes 退化矩阵，$\textbf{v}$denotes 加性高斯白噪声(additive white Gaussian noise) with 标准差$\sigma$
指定不同的退化矩阵$\textbf{H}$，对应着不同的IR任务：
-- 当$\textbf{H}$是一个恒等矩阵，IR任务对应着图像去噪(image denoising)
-- 当$\textbf{H}$是一个模糊算子(blurring operator)，IR任务对应着图像去模糊(image deblurring)
-- 当$\textbf{H}$是一个模糊和下采样的复合算子(composite operator of blurring and down-sampling)，IR任务对应着图像超分辨率(image super-resolution)
IR 是一个病态逆问题(ill-posed inverse problem)，先验(prior)被叫做正则化项(regularization)，需要被采取去约束解决空间. 从贝叶斯的观点， 需要被推导出的潜在的干净图像$\hat{x}$能够通过解决一个MAP(maximum A posteriori )问题得到:
$\hat{x}\text{}=\text{}$ argmax$_x \text{}$log$p(\textbf{y}|\textbf{x})\text{}+\text{}$log$p(\textbf{x})\text{}\text{}\text{}(1)$
其中log$$p(\textbf{y}|textbf{x})代表着$y$的log-似然，log$p(x)$是$x$的先验，更加正式的，公式一 被重新写：
$\hat{x} = $argmin$_{x}\frac{1}{2}||\textbf{y} - \textbf{H}x||^{2} + \lambda\Phi(x)\text{}\text{}\text{}(2)$
其中解法是最小化一个能量函数，由三个部分组成 数据保真项=$\frac{1}{2}||y\text{}\text{}-\textbf{H}x||^{2}$，一个正则化项$\Phi(x)$ 和一个平衡(trade-off)参数$\lambda$. 数据保真项确保了这个解法是通过了这个退化过程，正则化项强制执行输出所需的属性；
To solve Eqn.(2) ， have two main categories methods:
--model-based optimization methods: aim to directly solve Eqn2 使用一些耗时的迭代传播(time-comsuming iterative inference)
--discriminative learning methods: 通过优化包含退化干净(degraded-clean pairs )图像对的训练集上的损失函数来学习先验参数$\Theta$和紧凑(compact)推理,目标被给出：
min$_{\Theta}\text{}\textit{l}(\hat{x},x)$ $s.t.$ $\hat{x}\text{}=\text{}$arg min$_{x}\frac{1}{2}||y - \textbf{H}x||\text{}+\text{}\lambda\Phi(x;\Theta))$ (3)
因为这个推理是被MAP估计所指导，所以我们将这种方法称作为MAP推理指导的判别式学习方法(MAP inference guided discriminative learning method)；
使用一个预先定义的非线性函数:
$\hat{x}\text{}\text{}f(y,\textbf{H};\Theta)$==》注意这种函数内分号的形式，$\Theta$只是参数，前面那个才是真正的自变量,f(x;θ)是关于x的函数，其中θ是参数，x才是自变量，所以f(x;θ)是关于x的一元函数.
来替换MAP推理，我们可以把朴素的判别学习方法看作是Eqn3的一般情况。
--model-based optimization methods: 通过指定退化矩阵$\textbf{H}$来灵活的处理不同的IR任务
--discriminative learning methods: 通过使用确定的退化矩阵训练数据来学习模型
SO====》由以上两点可以得到，判别式学习方法常常限定在一些特定的任务如 MLP SRCNN DCNN；
图像降噪认为model-based method 能够处理不同噪声水平的图像,如BM3D WNNM， 然而判别学习方法只能够针对不同的噪声水平训练不同的模型。
使用判别式学习方法的优缺点：
缺点： 灵活性较差
优点： 快速的测试速度； 由于联合优化(joint optimization)和端到端的训练(end-to-end training)，具有前景性的表现；
使用model-based optimization 方法的优缺点：
缺点：时间消耗time-consuming with 复杂的先验 sophisticated prior 为了好的表现.
SO ===》 非常有吸引力的是利用他们各自的优点去研究他们的集成
Method
在变量分割技术的辅助下，如交替方向乘子法(alternating direction method of multiplier，ADMM)和半二次分割法(half quadratic splitting)，使得有可能独立的处理 保真项(fidelity term)和正则化项(regularization term).
而且，正则化项仅仅对应于一个去噪子问题！！！所以，这使得能够将任何的判别式降噪器集成到model-based 优化方法中。
--不采用学习一个MAP推导指导的判别模型，而是采取一个朴素的CNN去学习降噪器；
-- 已学习的CNN降噪器作为一个模块嵌入到model-based 优化方法中，去解决inverse 问题；
Image Restoration with Denoiser prior
--之前有借助ADMM变量分离技术的即插即用的先验架构；
--之前有提出使用HQS技术进行图像的降噪和去模糊的；
基于以上一些降噪先验的related work, 我们可以看出，降噪器先验可以通过多种方法插入迭代方案(iterative scheme);
迭代方案涉一个保真项相关子问题和一个降噪子问题；
