解析·玄学 模拟退火

让火焰净化一切！
火元素领主拉格纳罗斯

模拟退火算法（Simulate Anneal，SA）是一种通用概率演算法，用来在一个大的搜寻空间内找寻命题的最优解。模拟退火是由S.Kirkpatrick, C.D.Gelatt和M.P.Vecchi在1983年所发明的。在1985年也独立发明此演算法。
模拟退火的出发点是基于物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相似性。模拟退火算法是一种通用的优化算法，其物理退火过程由加温过程、等温过程、冷却过程这三部分组成。
摘自百度百科

通俗地来说，模拟退火是一种用于在方案数极大的情况下求取最优解的算法。模拟退火的实现和物理中的金属退火流程是一样的。物理上我们先将物体加热，再慢慢冷却。在OI中，我们则是先随机求取多个解，如果当前解比之前的解更优则选取它，否则我们按照一定的概率来判断是否选取。设这个新的解与最优解的差为\(\Delta E\)，温度为\(T\)，\(k\)为一个随机数，那么这个概率为：$$ e^{\frac{\Delta E}{kT}} $$
模拟退火中一共有三个参数，初始温度\(T_0\),降温函数\(\Delta T\)和结束温度\(T_t\)。初始温度常设为\(\frac{n}{2}\)，因为平均值更容易接近正解。降温函数常取\(T=a*T\)，其中\(a\)是一个接近于1的数。当\(a\)与1越接近时，我们运算的迭代次数就会越多。最终温度\(T_t\)则是一个接近于0的数，同样的，当\(T_t\)离0越近时运算次数就会越多。

例题

给定一个序列\(a_1,a_2,a_3...a_n\)，求其中\(a_1,a_2,...a_j\)的最大值。

样例

样例输入

17

6 25 -130 4 36 -11 -75 35 64 98 -1 0 27 -173 166 181 24

样例输出

276

很显然，如果用常规思路的话，我根本不会做。

这时让我们来考虑一下模拟退火(SA)

直接贴出代码

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 100000
#define maxtime 0.8//取接近1的小数即可。越接近1运行准确度越高，但同时也越容易超时 
using namespace std;
inline char get(){
	static char buf[30],*p1=buf,*p2=buf;
	return p1==p2 && (p2=(p1=buf)+fread(buf,1,30,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read(){
	register char c=get();register int f=1,_=0;
	while(c>'9' || c<'0')f=(c=='-')?-1:1,c=get();
	while(c<='9' && c>='0')_=(_<<3)+(_<<1)+(c^48),c=get();
	return _*f;
}
int a[maxn];
int n;
int ans=0;
int out(int j){
	int now=0;
	for(register int i=1;i<=j;i++)now+=a[i];
	//cout<<now<<endl;
	return now;
}
void SA(){
	int nowans=ans;
	double T=2000;//T表示温度 
	while(T>1e-6){
		int j=0;
		while(!j)j=rand()%n+1;//rand()%(n-m+1)+m;<------生成[m,n]之间的随机数
		int now=out(j);//输出交换之后的新解 
		//cout<<now<<endl;
		int pd=now-ans;//<----------关键部分，判断当前值是否接受 
		if(now>ans)ans=now;
		else if(exp(-pd/T)*RAND_MAX>rand())nowans=now;
        T*=pd*0.78;
    }
}
inline void solve(){
	ans=0;
	while( (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC < maxtime )SA();//卡运行时间 
}
int main(){
	//ps:不要看代码运行小数据耗时也巨大，那是因为运行时间被锁定为接近1s 
	freopen("SA.txt","r",stdin);
	srand(rand());srand(rand());//玄学生成随机数 
	n=read();
	for(register int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
	solve();
	printf("%d\n",ans);
}