[CF559 C]Gerald and Giant Chess

题面描述

给定一个\(H*W\)的棋盘，棋盘上只有\(N\)个格子是黑色的，其他格子都是白色的。在棋盘左上角有一个卒，每一步可以向右或者向下移动一格，并且不能移动到黑色格子中。求这个卒从左上角移动到右下角，一共有多少种可能的路线。

输入格式

第\(1\)行：\(3\)个正整数\(h,w,n(1 \leq h,w \leq 10^5,1\leq n \leq 2000)\)。
接下来n行，第\(i+1\)行包含两个整数\(r_i,c_i\)，即黑色格子的坐标

输出格式

输出一个整数，即总的方案数。

样例

样例输入

100 100 3
15 16
16 15
99 88

样例输出

545732279

题解

题目的数据范围肯定是不能直接写暴力的(即使是记忆化搜索也会导致空间超限)。因此我们考虑先用组合计数的方式求出总的方案数，再减去不合法的方案数。
在一个正方形矩阵中，我们若想用最小的步数从\((0,0)\)走到\((x,y)\)，一共只需要走x+y步，而决定方案数的仅仅是我们选择第\(i\)步是向\(x\)坐标移动还是向\(y\)坐标移动，因此可知总方案数为\(C_{x+y}^{x}\)
我们再减去其中加上所有会到达黑色方块的方案数即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mod 1000000007
#define maxn 200011
using namespace std;
inline char get(){
    static char buf[30000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2 && (p2=(p1=buf)+fread(buf,1,30000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read(){
    register char c=get();register int f=1,_=0;
    while(c>'9' || c<'0')f=(c=='-')?-1:1,c=get();
    while(c<='9' && c>='0')_=(_<<3)+(_<<1)+(c^48),c=get();
    return _*f;
}
struct edge{
    int x,y;
}a[maxn];
bool cmp(edge x1,edge x2){
    if(x1.x==x2.x) return x1.y<x2.y;
    return x1.x<x2.x;
}
int inv[maxn],fac[maxn];
int ksm(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans*=a,ans%=mod;
        a*=a,a%=mod;
        b>>=1;
    }return ans%mod;
}
inline void init(){
	inv[0]=1,fac[0]=1;
    for(register int i=1;i<maxn;i++){
        fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;
        inv[i]=ksm(fac[i],mod-2);
    }
}
int n,m,k;
int C(int m,int n){
	if(n==0)return 1;
	return (fac[m]*((inv[n]*inv[m-n])%mod))%mod;
}
int f[maxn];
signed main(){
	//freopen("1.txt","r",stdin);
	init();
    n=read(),m=read(),k=read();
    for(register int i=1;i<=k;i++)a[i].x=read(),a[i].y=read();
    sort(a+1,a+k+1,cmp);
    k++;
    a[k].x=n,a[k].y=m;
    for(register int i=1;i<=k;i++){
        f[i]=C(a[i].x+a[i].y-2,a[i].x-1)%mod;
        for(register int j=1;j<i;j++){
            if(a[j].x>a[i].x||a[j].y>a[i].y) continue;
            f[i]-=f[j]*C(a[i].x-a[j].x+a[i].y-a[j].y,a[i].x-a[j].x);
            f[i]=((f[i]%mod)+mod)%mod;
        }
    }
    cout<<(f[k]%mod+mod)%mod;
}