[网络流24题（3/24）] 最长k可重区间集问题（洛谷P3358）

传送门

分析：

这是一个非常经典的费用流的模型。

首先因为题目中限制我们每个点最多只能选取\(k\)次，因此，因为会有\(k\)次的限制，因此我们不妨用最大流进行限流，即我们将源点拆成两个点\(S_0\)以及\(S_1\)，从\(S_0\)点向\(S_1\)点连一条流量为k，费用为\(0\)的边。代表最多有大小为\(k\)的流经过所有的边。这样我们就能够保证，最终通过终点的流量被限死在k，而又因为要求的是最大价值，因此我们需要求的是最大费用最大流，这个我们只需要将价值变成负数。

因为最多会有\(n\)对区间，\(2n\)个点，因此我们考虑将着\(2n\)个点离散化。离散化后，我们将这离散化后的\(2n\)个点中离散化后相邻的点都连一条流量为\(inf\)，费用为\(0\)的边，代表相邻的点都可以互相到达。之后我们再将之前的\(n\)对区间的每一个区间\([l,r]\)，将点\(l\)和点\(r\)之间连一条费用为\(-len_{lr}\)，流量为\(1\)的边，代表如果要选取当前区间，则将会花费\(-len{lr}\)的费用以及区间中的所有点都将占用\(1\)点流量。建立好图之后，我们跑一边最小费用最大流之后取最小费用的相反数即可。

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1006
#define maxm 10005
using namespace std;
int head[maxn],cnt=0;
int dis[maxn],vis[maxn],sp,ep,maxflow,cost;
int n,k;
const int INF=0x3f3f3f3f;
struct Node{
    int to,next,val,cost;
}q[maxm<<1];
int L[maxn],R[maxn];
vector<int>vec;
void init(){
    memset(head,-1, sizeof(head));
    cnt=2;
    maxflow=cost=0;
}
void addedge(int from,int to,int val,int cost){
    q[cnt].to=to;
    q[cnt].next=head[from];
    q[cnt].val=val;
    q[cnt].cost=cost;
    head[from]=cnt++;
}
void add_edge(int from,int to,int val,int cost){
    addedge(from,to,val,cost);
    addedge(to,from,0,-cost);
}
bool spfa(){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dis[sp]=0;
    vis[sp]=1;
    queue<int>que;
    que.push(sp);
    while(!que.empty()){
        int x=que.front();
        que.pop();
        vis[x]=0;
        for(int i=head[x];i!=-1;i=q[i].next){
            int to=q[i].to;
            if(dis[to]>dis[x]+q[i].cost&&q[i].val){
                dis[to]=dis[x]+q[i].cost;
                if(!vis[to]){
                    que.push(to);
                    vis[to]=1;
                }
            }
        }
    }
    return dis[ep]!=0x3f3f3f3f;
}
int dfs(int x,int flow){
    if(x==ep){
        vis[ep]=1;
        maxflow+=flow;
        return flow;
    }//可以到达t，加流
    int used=0;//该条路径可用流量
    vis[x]=1;
    for(int i=head[x];i!=-1;i=q[i].next){
        int to=q[i].to;
        if((vis[to]==0||to==ep)&&q[i].val!=0&&dis[to]==dis[x]+q[i].cost){
            int minflow=dfs(to,min(flow-used,q[i].val));
            if(minflow!=0){
                cost+=q[i].cost*minflow;
                q[i].val-=minflow;
                q[i^1].val+=minflow;
                used+=minflow;
            }
            //可以到达t，加费用，扣流量
            if(used==flow)break;
        }
    }
    return used;
}
int mincostmaxflow(){
    while(spfa()){
        vis[ep]=1;
        while(vis[ep]){
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            dfs(sp,INF);
        }
    }
    return maxflow;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    init();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&L[i],&R[i]);
        if(L[i]>R[i]) swap(L[i],R[i]);
        vec.push_back(L[i]);
        vec.push_back(R[i]);
    }
    sort(vec.begin(),vec.end());
    int sz=vec.size();
    sp=sz+1,ep=sz+2;
    add_edge(sp,1,k,0);
    add_edge(sz,ep,k,0);
    for(int i=1;i<sz;i++) add_edge(i,i+1,k,0);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int l=lower_bound(vec.begin(),vec.end(),L[i])-vec.begin();
        int r=lower_bound(vec.begin(),vec.end(),R[i])-vec.begin();
        add_edge(l+1,r+1,1,vec[l]-vec[r]);
    }
    mincostmaxflow();
    printf("%d\n",-cost);
    return 0;
}