luogu P1471（线段树）
题意：
维护区间加区间查询平均数，区间查询方差。
分析：
维护区间平均数非常简单，根据式子\(\sum_{i=1}^{n}a_i\frac{1}{n}\)得知，我们只需要维护一个区间和即可。
问题就在于维护方差，我们尝试将方差的式子化简一下：
\[\frac{(a_1-\overline{a})^2+(a_2-\overline{a})^2+\dots+ (a_n-\overline{a})^2}{n}
\]
\[=\frac{a_i^2+a_2^2+\dots+a_n^2-2*(a_1-\overline{a})-2*(a_2-\overline{a})-\dots-2*(a_n-\overline{a})+n*\overline{a}^2}{n}
\]
\[=\frac{\sum_{i=1}^{i=n}a_i^2-\overline{a}*\sum_{i=1}^{i=n}a_i+n*\overline{a}^2}{n}
\]
\[=\frac{\sum_{i=1}^{i=n}a_i^2}{n}-\overline{a}^2
\]
因此，我们发现此时，我们只需要维护一个区间的平方和以及区间的和即可。
而对于区间平方和的维护，我们继续化简式子：
\[a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2
\]
\[(a_1+k)^2+(a_2+k)^2+\dots+(a_n+k)^2
\]
\[=a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2+n*k^2+2*k*(a_1+a_2+\dots+a_n)
\]
\[=\sum_{i=1}^{i=n}a_i^2+2*k*\sum_{i=1}^{i=n}a_i+n*k^2
\]
因此我们发现，每次区间更新\(k\)的时候，我们只需要增加\(2*k*\sum_{i=1}^{i=n}a_i+n*k^2\)，而这个值我们只需要维护一个区间加就可以完成。
综上，我们直接可以用线段树去大力的维护。
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100005
struct Node{
double sum,mulsum,lazy;
int len;
}tr[maxn<<2];
double a[maxn];
void push_up(int rt){
tr[rt].sum=tr[rt<<1].sum+tr[rt<<1|1].sum;
tr[rt].mulsum=tr[rt<<1].mulsum+tr[rt<<1|1].mulsum;
}
void push_down(int rt,int l,int r){
if(tr[rt].lazy){
tr[rt<<1].mulsum+=tr[rt<<1].len*tr[rt].lazy*tr[rt].lazy+ 2*tr[rt].lazy*tr[rt<<1].sum;
tr[rt<<1|1].mulsum+=tr[rt<<1|1].len*tr[rt].lazy*tr[rt].lazy+ 2*tr[rt].lazy*tr[rt<<1|1].sum;
tr[rt<<1].lazy+=tr[rt].lazy;
tr[rt<<1|1].lazy+=tr[rt].lazy;
tr[rt<<1].sum+=tr[rt].lazy*tr[rt<<1].len;
tr[rt<<1|1].sum+=tr[rt].lazy*tr[rt<<1|1].len;
tr[rt].lazy=0;
}
}
void build(int l,int r,int rt){
tr[rt].lazy=0;
tr[rt].len=r-l+1;
if(l==r){
tr[rt].sum=a[l];
tr[rt].mulsum=a[l]*a[l];
tr[rt].len=r-l+1;
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(l,mid,rt<<1);
build(mid+1,r,rt<<1|1);
push_up(rt);
}
void update(int L,int R,int l,int r,int rt,double add){
if(L<=l&&R>=r){
tr[rt].mulsum+=(r-l+1)*add*add+2.0*add*tr[rt].sum;
tr[rt].sum+=(r-l+1)*add;
tr[rt].lazy+=add;
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;
push_down(rt,l,r);
if(L<=mid) update(L,R,l,mid,rt<<1,add);
if(R>mid) update(L,R,mid+1,r,rt<<1|1,add);
push_up(rt);
}
double querysum(int L,int R,int l,int r,int rt){
if(L<=l&&R>=r){
return tr[rt].sum;
}
int mid=(l+r)>>1;
double res=0;
push_down(rt,l,r);
if(L<=mid) res+=querysum(L,R,l,mid,rt<<1);
if(R>mid) res+=querysum(L,R,mid+1,r,rt<<1|1);
return res;
}
double querymulsum(int L,int R,int l,int r,int rt){
if(L<=l&&R>=r){
return tr[rt].mulsum;
}
int mid=(l+r)>>1;
double res=0;
push_down(rt,l,r);
if(L<=mid) res+=querymulsum(L,R,l,mid,rt<<1);
if(R>mid) res+=querymulsum(L,R,mid+1,r,rt<<1|1);
return res;
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lf",&a[i]);
}
build(1,n,1);
while(m--){
int opt,l,r;
double add;
scanf("%d%d%d",&opt,&l,&r);
if(opt==1){
scanf("%lf",&add);
update(l,r,1,n,1,add);
}
else if(opt==2){
double res=querysum(l,r,1,n,1);
printf("%.4f\n",1.0*res/(r-l+1));
}
else{
double tmp=1.0*querysum(l,r,1,n,1)/(r-l+1);
double res=1.0*querymulsum(l,r,1,n,1)/(r-l+1);
res-=tmp*tmp;
printf("%.4f\n",res);
}
}
return 0;
}
