Atcoder Grand Contest 20 C（bitset优化背包）

传送门：

题意：

给你$n$个数，现在一共可以形成$2^{n}-1$个集合。他们的和能够形成一个新的数列。现在问你这个新的数列的中位数是多少。

题目分析：

首先需要知道，一个数列的中位数必定是大于等于$(\sum_{i=1}^{n}a_i)/2$，证明如下。

设集合$A$能够分为$P,Q$两个不同的子集，且（$P \bigcup Q=A$）。此时对于集合$P,Q$中的所有数，一定有$\sum P+\sum Q=\sum A$。我们假设$\sum P \le \sum Q$，则有$\sum P \le \frac{1}{2}*\sum A$，同时有$\sum Q \ge \frac{1}{2}*\sum A$。

而又因为集合$P \bigcup Q=A$，故我们可以假设$P$属于$A$的前半部分，即：$P_1=A_1,P_2=A_2 \dots P_{2^{n-1}-1}=A_{2^{n-1}-1}$。同时Q属于$A$的后半部分，即：$P_{2^{n-1}}=A_{2^{n-1}} \dots P_{2^{n}-1}=A_{2^{n}-1}$。

因此我们只需要找到第一个大于等于$\frac{1}{2}\sum{A}$的数即可。

而这个此时我们的问题即转化为，让你从这个数列中选取一个子序列，使得子序列的和为$\frac{1}{2}\sum{A}$。而这个问题我们可以用可达性01背包去解决。

但是如果直接去做，时间复杂度为$\mathcal{O}(n^2\max(a_i))$，显然不符合条件。

而考虑到这是一个可达性只有0和1两种状态，因此我们可以用bitset去优化。

故整体的时间复杂度为 $\mathcal{O}(\frac{n^2\max(a_i)}{64})$

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 30
using namespace std;
bitset<maxn>bit;
typedef long long ll;
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int sum=0;
    bit[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int num;
        scanf("%d",&num);
        sum+=num;
        bit|=bit<<num;
    }
    int j=(sum+1)>>1;
    for(int i=j;i<=sum;i++){
        if(bit[i]){
            printf("%d\n",i);
            return 0;
        }
    }
    return 0;
}