bzoj 1497（最大权闭合图/最小割）
传送门
题意：
有$n$个通信塔，建立第$i$个通讯塔需要花费$p_i$元。同时有$m$个人，对于第$i$个人，如果$a_i$号塔以及$b_i$号塔被建了，则会赚$c_i$元。问最大的收益。
分析：
最大权闭合图的经典的模型。
所谓闭合图，即要满足一定的依赖关系，即一个事件要发生，它需要的所有前提也都一定要发生。
而最大权闭合图即为点权最大的闭合图。
而这类问题的一个比较经典的建图方法是：
- 将能够使收益增加的点与超级源点相连，边的容量为将会增加的收益值（设之为$a_i$）
- 将能够使收益减少的点与超级汇点相连，边的容量为将会减少的收益值（设之为$b_i$）
- 将原来的闭合图之间连接一条容量为无穷的边。
最后的闭合图的最大权为$\sum a_i-res$。而$res$的值为需要损失的收益且其值一定为原图的最小割。
简单说明（全是胡扯） ：
要使得$\sum a_i-res$最大，则显然我们需要损失的收益值$res$最小。而因为在闭合图中，某些事件（亦或者说，某些能使得收益增加的事件）的发生，必然会导致它后面所依赖的所有事件（可能部分事件会使得收益减少）均发生，而在这个过程中，可能会产生很大的损失。
因此我们考虑将部分边割掉。
我们发现，如果我们将某个能使得收益增加的点与源点的边割掉，则必然会导致我们得不到该点带来的贡献，这个我们可以看作损失；同理，如果我们将某个能使得收益减少的点与汇点的边割掉，我们则需要付出一定代价，这也可以看错损失。
而我们目前需要求得的是最小的损失$res$，因此我们只需要求出原图的最小割即可。
而对于上面的题目，我们发现，使得每个人满意是能够使得答案增加的，而使得每个人满意的制约条件是会使得答案减少的，因此我们把人和超级源点相连，灯塔与超级汇点相连，最后跑一边最大流，最后的答案即为$\sum c_i-maxflow$
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1000005;
const int inf=0x3f3f3f3f;
struct Node{
int to,val,next;
}q[maxn<<1];
int head[maxn],cnt=0,dep[maxn],cur[maxn],vis[maxn];
int sp,ep,maxflow;
void init(){
memset(head,-1,sizeof(head));
cnt=2,maxflow=0;
}
void add_edge(int from,int to,int val){
q[cnt].to=to;
q[cnt].val=val;
q[cnt].next=head[from];
head[from]=cnt++;
q[cnt].to=from;
q[cnt].val=0;
q[cnt].next=head[to];
head[to]=cnt++;
}
bool bfs(int n){
for(int i=0;i<=n;i++){
cur[i]=head[i],dep[i]=0x3f3f3f3f;
vis[i]=0;
}
dep[sp]=0;
queue<int>que;
que.push(sp);
while(!que.empty()){
int x=que.front();
que.pop();
vis[x]=0;
for(int i=head[x];i!=-1;i=q[i].next){
int to=q[i].to;
if(dep[to]>dep[x]+1&&q[i].val){
dep[to]=dep[x]+1;
if(!vis[to]){
que.push(to);
vis[to]=1;
}
}
}
}
if(dep[ep]!=inf) return true;
else return false;
}
int dfs(int x,int flow){
int rlow=0;
if(x==ep){
maxflow+=flow;
return flow;
}
int used=0;
for(int i=cur[x];i!=-1;i=q[i].next){
cur[x]=i;
int to=q[i].to;
if(q[i].val&&dep[to]==dep[x]+1){
if(rlow=dfs(to,min(flow-used,q[i].val))){
used+=rlow;
q[i].val-=rlow;
q[i^1].val+=rlow;
if(used==flow) break;
}
}
}
return used;
}
int dinic(int n){
while(bfs(n)){
dfs(sp,inf);
}
return maxflow;
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
init();
sp=0,ep=n+m+1;
for(int i=1;i<=n;i++){
int vals;
scanf("%d",&vals);
add_edge(i+m,ep,vals);
}
int res=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
int from,to,val;
scanf("%d%d%d",&from,&to,&val);
add_edge(sp,i,val);
add_edge(i,m+from,inf);
add_edge(i,m+to,inf);
res+=val;
}
printf("%d\n",res-dinic(n+m+1));
return 0;
}
