题解 LuoguP3306 [SDOI2013] 随机数生成器

题目链接：【LuoguP3306】。

前置知识

OI-Wiki：快速幂，扩展欧几里得算法（exgcd），Baby Step, Giant Step 算法。

题意

很清楚，不说。

当 $t=x$ 时

答案很明显为 $1$，即在第一天就可以读到。

当 $t\ne x$ 时

当 $a=0$ 时

观察一下规律：

$$x_1\equiv x_1(\mathrm{mod}p)$$

$$x_2\equiv b(\mathrm{mod}p)$$

规律十分显著：

$$x_i\equiv \{\begin{array}{ll}{x}_1& i=1\\ b& i>1\end{array}(\mathrm{mod}p)$$

可以直接特判。

当 $a=1$ 时

观察一下规律：

$$x_1\equiv x_1(\mathrm{mod}p)$$

$$x_2\equiv x_1+b(\mathrm{mod}p)$$

$$x_3\equiv x_1+2b(\mathrm{mod}p)$$

规律十分显著：

$$x_i\equiv x_1+(i-1)b(\mathrm{mod}p)$$

$$(i-1)b\equiv x_i-x_1(\mathrm{mod}p)$$

然后就是用扩展欧几里得解同余方程了。

当 $a>1$ 时

观察一下规律：

$$x_1\equiv x_1(\mathrm{mod}p)$$

$$x_2\equiv a{x}_1+b(\mathrm{mod}p)$$

$$x_3\equiv a^2{x}_1+ab+b(\mathrm{mod}p)$$

规律十分显著：

$$x_i\equiv a^{i-1}{x}_1+\sum _{j=0}^{i-2}{a}^{j}b(\mathrm{mod}p)$$

很明显是一个等比数列。

等比数列如何求解？

首先设 $S=\sum _{j=0}^{i-2}{a}^j$。

$$aS=\sum _{j=1}^{i-1}{a}^j$$

$$aS-S=\sum _{j=1}^{i-1}{a}^j-\sum _{j=0}^{i-2}{a}^j$$

$$(a-1)S=a^{i-1}-1$$

$$S={\displaystyle \frac{a^{i-1}-1}{a-1}}$$

$$\sum _{j=0}^{i-1}{a}^{j}b=b\sum _{j=0}^{i-1}{a}^j=b{\displaystyle \frac{a^{i-1}-1}{a-1}}={\displaystyle \frac{b}{1-a}}-{\displaystyle \frac{b}{1-a}}{a}^{i-1}$$

$$a^{i-1}\equiv {\displaystyle \frac{x_i-\frac{b}{1-a}}{x_1-\frac{b}{1-a}}}(\mathrm{mod}p)$$

$$a^{i-1}\equiv {\displaystyle \frac{(a-1)x_i+b}{(a-1)x_1+b}}(\mathrm{mod}p)$$

然后求逆元之后利用 BSGS 算法求解同余高次方程。

最后可以发现其实推完公式之后就是 「SDOI2011」计算器。

代码

//the code is from chenjh
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<unordered_map>
typedef long long LL;
LL qpow(LL a,int b,const int p){//快速幂。
	int ret=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%p)if(b&1)ret=ret*a%p;
	return ret%p;
}
int exgcd(const int a,const int b,int&x,int&y){//扩展欧几里得。
	if(!b) return x=1,y=0,a;
	int d=exgcd(b,a%b,x,y);
	int z=x;x=y,y=z-y*(a/b);
	return d;
}
LL BSGS(int a,LL b,int p){//大步小步算法。
	std::unordered_map<LL,LL> h;h.clear();//std::unordered_map 基于哈希，理论上更快，实际上也比红黑树实现的 std::map 快。
	b%=p;
	int t=(LL)sqrt(p)+1;
	for(int j=0;j<t;j++) h[b*qpow(a,j,p)%p]=j;
	a=qpow(a,t,p);
	if(!a) return b?-1:1;
	for(int i=0;i<=t;i++){
		int v=qpow(a,i,p);
		LL j=h.find(v)==h.end()?-1:h[v];
		if(j>=0 && (LL)i*t-j>=0) return (LL)i*t-j;
	}
	return -1;
}
int main(){
	int T;scanf("%d",&T);
	for(int p,a,b,x,t;T--;){
		scanf("%d%d%d%d%d",&p,&a,&b,&x,&t);
		if(x==t) puts("1");
		else if(!a) puts(t==b?"2":"-1");
		else if(a==1){
			int X,Y;
			int g=exgcd(b,p,X,Y);
			int B=((LL)t-x+p)%p;
			printf("%d\n",B%g?-1:int(((LL)B/g*X%(p/g)+p/g)%(p/g)+1));//求解线性同余方程。
		}
		else{
			LL B=((LL)(a-1)*t+b)%p*qpow(((LL)(a-1)*x+b)%p,p-2,p)%p;
			int ans=BSGS(a,B,p);
			printf("%d\n",ans<0?-1:ans+1);
		}
	}
	return 0;
}