题解 P11669 [USACO25JAN] Cow Checkups B

【洛谷专栏】。

题意

给定两个 $N$ 个数的数列 $a,b$。

设 $d$ 表示将 $a$ 的 $[l,r]$ 区间翻转后的数列，$f(l,r)=\sum _{i=1}^N[d_i=b_i]$。

求对于每个 $c\in [0,N]\cap \mathbb{N}$，有多少对不同的 $(l,r)(1\le l\le r\le N)$ 满足 $f(l,r)=c$。

分析

$1\le N\le 7500$ 提示时间复杂度可能是 $O(N^2)$，也就是说要找到一种对于每个区间求相等数量为 $O(1)$ 的做法。

对于一个当前已知答案区间 $[l,r]$，可以迅速推广到区间 $[l-1,r+1]$。因为他们的对称轴是相同的，所以新区间内 $[l,r]$ 的关系不会变，计算答案只需要考虑 $l-1$ 和 $r+1$ 对应的关系即可。

时间复杂度 $O(N^2)$。

代码

//the code is from chenjh
#include<cstdio>
using namespace std;
int n;
int a[7505],b[7505];
int ans[7505];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	int org=0,sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]),org+=a[i]==b[i];//初始有多少个已经对应相等。
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sum=org;
		for(int l=i,r=i+1;l>0&&r<=n;--l,++r)
			++ans[sum+=(a[l]==b[r])+(a[r]==b[l])-(a[l]==b[l])-(a[r]==b[r])];//对称轴在 i 和 i+1 之间，加上两端新出现的答案，减去原来的答案。
		sum=org;
		for(int l=i,r=i;l>0&&r<=n;--l,++r)
			++ans[sum+=(a[l]==b[r])+(a[r]==b[l])-(a[l]==b[l])-(a[r]==b[r])];//对称轴为 i，同上。
	}
	for(int i=0;i<=n;i++) printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}