题解 P11029 『DABOI Round 1』A Simple Problem

【洛谷专栏】。

验题人题解。

出题人标程一开始写错了，所以我重写了 std 并造了数据。

题意

$$\left(\prod _i^n\prod _j^i\prod _k^j{k}^k\right)mod998244353$$

分析

观察到 $k$ 是最不好求的，且答案和 $i,j$ 没有关系。

现在的问题是求 $k^k$ 相乘了多少次，也就是求 $k\le i\le j\le n$ 的 $(i,j)$ 对数，问题也就转化成了 $n-k+1$ 个数中选两个数（可选两个相同的数）的方案数，即：

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k+1}{2})}+(n-k+1)& ={\displaystyle \frac{(n-k+1)(n-k)}{2}}+(n-k+1)\\ & ={\displaystyle \frac{(n-k+1)(n-k+2)}{2}}\end{array}$$

因此我们所求答案：

$$\prod _i^n\prod _j^i\prod _k^j{k}^k=\prod _k^n(k^k{)}^{\frac{(n-k+1)(n-k+2)}{2}}=\prod _k^n{k}^{\frac{1}{2}k(n-k+1)(n-k+2)}$$

做到这里其实可以直接求了，但是进一步由费马小定理 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ 推导可以得到：

$$\left(\prod _k^n{k}^{\frac{1}{2}k(n-k+1)(n-k+2)}\right)mod998244353=\left(\prod _k^n{k}^{\frac{1}{2}k(n-k+1)(n-k+2)mod998244352}\right)mod998244353$$

然后就可以愉快的枚举 $k$ 再快速幂了，时间复杂度 $O(n\log n)$，有点小卡常。

最大点在 C++14 O2 下跑了 $\text{236ms}$，但是有些选手被卡常了，建议自行优化常数。

//the code is from chenjh
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod=998244353;
int qpow(int a,int b){
	int ret=1;
	for(;b;b>>=1,a=(LL)a*a%mod)if(b&1)ret=(LL)ret*a%mod;
	return ret%mod;
}
int n;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans=(LL)ans*qpow(i,(LL)i*((LL)(n-i+1)*(n-i+2)/2%(mod-1))%(mod-1))%mod;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

Update on 2024/9/9：

用 PyPy 3 写了个解法，可以通过，请不要再说卡常了。

n=int(input())
s=1
for i in range(1,n+1):
    s=s*pow(i,i*(n-i+1)*(n-i+2)//2%998244352,998244353)%998244353
print(s)