题解 UVA10299 【Relatives】

题意

有多组数据，每组一个整数 $n(n\le {10}^9)$，求出 $\phi (n)$，最后以 $0$ 结束。

欧拉函数 $\phi (n)$ 的定义

$1\sim n$ 中与 $N$ 互质数的个数被称为欧拉函数，记为 $\phi (n)$。

——《算法竞赛进阶指南》

在算数基本定理中，则：

$$\phi (n)=n\times {\displaystyle \frac{p_1-1}{p_1}}\times {\displaystyle \frac{p_2-1}{p_2}}\times ...\times {\displaystyle \frac{p_m-1}{p_m}}=n\times \prod _{\text{质数}p\mid n}(1-{\displaystyle \frac{1}{p}})$$

根据欧拉函数的计算式，我们只需要分解质因数，就可求出欧拉函数。

更多关于欧拉函数的知识。

详见代码：

//the code is from chenjh
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL phi(LL n){//分解质因数，求单个欧拉函数值
    LL ans=n;
    LL sqn=sqrt(n);
    for(int i=2;i<=sqn;i++)//根据算数基本定理求欧拉函数值
        if(n%i==0){
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    if(n>1) ans=ans/n*(n-1);//还没有分解完，剩下的必为质数
    return ans;
}
int main(){
    LL n;
    while(scanf("%lld",&n) && n)
        printf("%lld\n",phi(n));
    return 0;
}

拓展一下，求 $2\sim n$ 中每个数的欧拉函数值：

void euler(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++) phi[i]=i;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(phi[i]==i)
            for(int j=i;j<=n;j+=i)
                    phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}