求逆元的方法总结

定义：如果有 \(ax\equiv 1_\pmod n\) ,则 \(x\) 是 \(\mathrm{mod}\,n\) 意义下 \(a\) 的乘法逆元，记作 \(x=\mathrm{inv} (a)\) 或 \(x=a^{-1}\)

一个数有逆元当且仅当 \(\gcd(a,n)=1\) 且一个数的逆元唯一。

三种求法

1"利用扩展欧几里得：将 \(ax\equiv 1_\pmod n\)​​​ 展开得 \(ax+ny=1\)​​​ ,若 \(\gcd(a,n)=1\)​​​ ，则可以通过 \(exgcd\)​​​ 解出 \(x\)​​​ ，并调整到正常范围内。

不需要 \(n\)​ 为质数。

2"利用费马小定理： 已知 \(a^{p-1} \equiv 1_\pmod p\) ，则 \(a*a^{p-2} \equiv 1_\pmod p\)

当 \(p\) 为质数时可以考虑费马小定理

3"欧拉定理：已知 \(a^{\varphi(p)} \equiv 1_\pmod p\) ，可以得到逆元为 \(a^{\varphi(p)-1}\)

适用于模数不是质数的情况

4"线性递推求出逆元

给定数组 \(inv[MAXN]\)​ 记录逆元，\(inv[i]\)​ 为是 \(\mathrm{mod}\,p\)​​ 意义下的乘法逆元，则有线性递推式

\[inv[i] = (p - \lfloor \dfrac {p} i \rfloor) * inv[p \,\%\, i]\, \% \,p\\其中inv[1] = 1 \]

可以在 \(\mathcal{O}(n)\)​ 的复杂度内维护出 \(1 - N\)​ 的逆元，要保证 \(i < mod\)​ 且 \(p\)​ 为质数

5.利用积性函数的性质

考虑到逆元函数为积性函数， 即有 \(inv[ab] = inv[a] \times inv[b]\) ，可以 \(\mathcal O(n)\) 的维护出阶乘的逆元，可以替换 费 马小定理+快速幂 的组合