2079 ACM 选课时间 背包 或 母函数
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2079
题意:同样的学分 ,有多少种组合数,注意同样学分,课程没有区别
思路:两种方法
- 背包
- 母函数
背包:
注意初始化时dp[0]=1,其他都为0,循环时从学分N开始更新,减到为0,表示成功,组合数加一。
代码:
#include <iostream> using namespace std; int main () { int t,n,m,i,j,k,l,a,b,dp[55]; //dp记录当前学分的组合数 cin>>t; while(t--&&cin>>n>>m) { for(i=dp[0]=1;i<55;i++) dp[i]=0; while(m--&&cin>>a>>b) { for(i=n;i>=a;i--) //从最终的学分向前更新 for(j=1;j<=b;j++) //选择1到b门课 if(j*a<=i) //学分不过界 dp[i]+=dp[i-j*a]; //那就把他加起来 } cout<<dp[n]<<endl; } }
母函数:
母函数的基本知识:
通过例题来了解:
例一:
有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚,能称出哪几种重量?每种重量各有几种可能方案?
考虑用母函数来解决这个问题:
我们假设x表示砝码,x的指数表示砝码的重量,这样:
个1克的砝码可以用函数1+1*x^1表示,(1其实应该写为:1*x^0,即1代表重量为2的砝码数量为0个。)
1个2克的砝码可以用函数1+1*x^2表示,
1个3克的砝码可以用函数1+1*x^3表示,
1个4克的砝码可以用函数1+1*x^4表示,
这里的系数表示状态数(方案数)
几种砝码的组合可以称重的情况,可以用以上几个函数的乘积表示:
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)
=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10
从上面的函数知道:可称出从1克到10克,系数便是方案数。(!!!经典!!!)
例如右端有2^x^5 项,即称出5克的方案有2种:5=3+2=4+1;同样,6=1+2+3=4+2;10=1+2+3+4。
故称出6克的方案数有2种,称出10克的方案数有1种 。
例二:
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数:
第一种每种是一个,而这里每种是无限的。
g(x)=(1+x+x^2+···)(1+x^2+x^4···)(1+x^3+x^6+···)
以展开后的x^4为例,其系数为4,即4拆分成1、2、3之和的拆分方案数为4;
即 :4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
这里再引出两个概念"整数拆分"和"拆分数":
所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和(相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子,盒子允许空,也允许放多于一个球)。 整数拆分成若干整数的和,办法不一,不同拆分法的总数叫做拆分数。
代码实现:
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
我们要写的代码就是要计算上面的函数式相乘之后的结果,数组c1[]存函数G(x)的每一项系数。代码的实现方式是:通过循环,每次循环把前两个括号相乘,得到新的第一个括号,一直把所有的括号都乘完。
例如:(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=(1+x+x^2+x^3)(1+x^3)(1+x^4)
这一步就实现了前两个括号融合成一个括号。
例二代码:
每种种类个数无限为例,给出模板:
#include <iostream> using namespace std; const int _max = 10001; // c1是保存各项质量砝码可以组合的数目 // c2是中间量,保存没一次的情况 int c1[_max], c2[_max]; int main() { int nNum; //你想用已有的面值组成nNum大小的面值 int i, j, k; //该代码的前提是假设所有面值为1、2、3、4、5.....的连续数,即下面的 i //数量无限 while(cin >> nNum) { for(i=0; i<=nNum; ++i) //此时的nNum是第一个括号的所有项个数 // ---- ① { c1[i] = 1; c2[i] = 0; } for(i=2; i<=nNum; ++i) //nNum 括号个数 // ----- ② { for(j=0; j<=nNum; ++j) //j是第一个括号里的每一项x^j的指数j for(k=0; k+j<=nNum; k+=i) // k是第二个括号的每一项x^k的指数 { c2[j+k] += c1[j]; //目前的第一括号与第二括号两两相乘 //由于第二括号的系数全为1,相乘后的系数就是c1[j],累加即可 } for(j=0; j<=nNum; ++j) // 把c2中的值给c1,并把c2清0 { c1[j] = c2[j]; c2[j] = 0; } } cout << c1[nNum] << endl;//输出能组成nNum大小的方案数 } return 0; }
本题中每个学分的课程有限,代码模板又不一样:
高效的母函数模板
https://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042651
直接套模板就好:
代码:
#include <iostream> #include <cstring> using namespace std; #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b)) int T,N,K,n[8],v[8],a[42],b[42],i,j,k,last,last2; int main() { cin>>T; while ((T--)!=0) { cin>>N>>K; for (i=0;i<K;i++) cin>>v[i]>>n[i]; a[0]=1; last=0; for (i=0;i<K;i++) { last2=min(last+n[i]*v[i],N); memset(b,0,sizeof(int)*(last2+1)); for (j=0;j<=n[i]&&j*v[i]<=last2;j++) for (k=0;k<=last&&k+j*v[i]<=last2;k++) b[k+j*v[i]]+=a[k]; memcpy(a,b,sizeof(int)*(last2+1)); last=last2; } cout<<a[N]<<endl; } return 0; }
注意数组的初始化