字符串——从入门到入门

最小表示

循环同构

当一个字符串 \(s\) 可以选定一个位置 \(i\) 满足 \(s[i\dots n]+s[1\dots i-1]=t\)，则称 \(s\) 与 \(t\) 循环同构。

最小表示

字符串 \(s\) 的最小表示为与 \(s\) 循环同构的所有字符串中字典序最小的字符串。

实现

每次比较 \(i\) 和 \(j\) 开始的循环同构，把当前比较到的位置记作 \(k\)，每次遇到不同的字符时跳过较大的，最后剩下的就是最优解。

int get_min_start(){
	int i=0,j=1,k=0;
	while(std::max(i,std::max(j,k))<n){
		if(s[(i+k)%n]==s[(j+k)%n])k++;
		else{
			if(s[(i+k)%n]>s[(j+k)%n])i++;
			else j++;
			k=0;
			if(i==j)i++;
		}
	}
	return std::min(i,j);
}

考虑时间复杂度，该实现方法在随机数据下表现良好，但当字符串中出现多个连续重复子串时，复杂度降低，可能达到 \(\Theta(n^2)\)。

优化

暴力比较，如果 \(i\) 开头比 \(j\) 开头更优，且在第 \(k\) 位猜更优，那么对于 \(t\le k\)，\(i+t\) 开头也一定比 \(j+k\) 开头更优。

跳过不优的即可，复杂度 \(\Theta(n)\)。

int get_min_start(){
	int i=0,j=1;k=0;
	while(std::max(i,std::max(j,k))>n){
		if(s[(i+k)%n]==s[(j+k)%n])k++;
		else{
			if(s[(i+k)%n]>s[(j+k)%n])i+=k+1;
			else j+=k+1;
			if(i==j)i++;
			k=0;
		}
	}
	return std::min(i,j);
}

Manacher

给定一个长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)，请找到所有对 \((i,j)\) 使得子串 \(s[i\dots j]\) 为一个回文子串。

解释

暴力 \(\Theta(n^2)\)，考虑线性。

\(d1_i\) 和 \(d2_i\) 分别表示以 \(i\) 为中心的长度为奇数/偶数的回文串个数，同时也表示了以 \(i\) 为中心的最长回文串的半径长度（从 \(i\) 到最右端）。

发现，如果以某个位置 \(i\) 为中心，有一个长度为 \(l\) 的回文串，那么我们有以 \(i\) 为中心的长度为 \(l-2,l-4,\dots\) 的回文串，接下来考虑线性计算 \(d1,d2\) 两个数组。

解法

以计算 \(d1\) 为例，\(d2\) 的计算与此大致相同。

设我们当前要计算 \(d1_i\)，\((l,r)\) 表示已找到的最靠右的子回文串的边界（初始值为 \(l=0,r=-1\)），考虑 \(i\) 的取值情况。

当 \(i\) 处于当前子回文串外时（即 \(i>r\)），暴力向外扩展。

当 \(i\le r\) 时，我们定义 \(j\) 为 \(i\) 在 \((l,r)\) 中的对称位置，所以 \(d1_i=d1_j\)，当到达为计算的位置时，同样暴力向外扩展。

对于复杂度，每次暴力扩展均会使 \(r\) 增加 \(1\)，并且 \(r\) 的取值使单调不递减的，所以共会进行 \(\Theta(n)\) 次迭代，而另一部分的复杂度也是线性的，所以总复杂度为 \(\Theta(n)\)。

void get_d1(){
	int l=0,r=-1;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int k=(i>r)?1:std::min(d1[l+r-i],r-i+1);
		while(i-k>=0&&i+k<n&&s[i-k]==s[i+k])k++;
		d1[i]=k--;
		if(i+k>r){
			l=i-k;
			r=i+k;
		}
	}
}

void get_d2(){
	int l=0,r=-1;
	for(int i=0;i<n;i++){
		int k=(i<r)?0:std::min(d2[l+r-i_1],r-i+1);
		while(i-k-1>=0&&i+k<n&&s[i-k-1]==s[i+k])k++;
		d2[i]=k--;
		if(i+k>r){
			l=i-k-1;
			r=i+k;
		}
	}
}