可持久化数据结构

可持久化数据结构简介

分类

部分可持久化

所有版本都可以访问，但是只有最新版本可以修改。

完全可持久化

所有版本都既可以访问又可以修改。

实际应用

几何计算（扫描线），字串处理（合并操作 rope），版本回溯，函数式编程。

可持久化线段树

引入[P3834 【模板】可持久化线段树 2]

首先考虑静态全局第 $k$ 小，可以用权值线段树，在线段树上二分，同时也支持动态全局第 $k$ 小（单点修改）。

考虑静态区间第 $k$ 小，对于每个前缀 $a_{1,2,\dots ,n}$ 都建一个权值线段树 $T_i$，$T_i$ 中代表区间 $[l,r]$ 的节点存前缀 $a_{i,2,\dots ,n}$ 中有多少个数在 $[l,r]$ 内。

对于 $[l,r]$ 的询问，我们只需将 $T_r$ 与 $T_{l-1}$ 两棵树中的对应节点相减，就得到了该区间的权值线段树。

但一共需要 $O(n^2)$ 个节点，考虑优化。

发现 $T_i$ 较 $T_{i-1}$ 只修改了从 $a_i$ 对应的叶子节点到根节点的路径上的权值，共 $O(\log n)$ 个节点。

因此，从 $T_{i-1}$ 到 $T_i$ 的过程中，我们只需要新建发生变化的 $O(\log n)$ 个节点，剩下的节点与 $T_{i-1}$ 共用（即新建根节点，被修改的儿子新建节点，未被修改的儿子仍用 $T_{i-1}$ 的）。

区间修改同理，同样只有 $O(\log n)$ 个节点被修改。