2024 山东省夏令营高算班【讲课】

Day 1 数论

数论入门

欧几里得算法

若 $a\perp b$，则 $gcd(a^m-b^m,a_n-b^n)=a^{gcd(n,m)}-b^{gcd(n,m)}$，证明用辗转相减做到指数上。

若 $n^a\equiv 1(\mathrm{mod}m)$ 且 $n^b\equiv 1(\mathrm{mod}m)$，则 $n^{gcd(a,b)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$，同理可证。

[CF1656H]EQUAL LCM SUBSETS

插入困难, 我们考虑从全集中删数: 如果对于一个数字的某一个质因子, 如果它的指数大于对方集合中任意一个数相同质因子的最大指数, 那这个数一定不可能存在, 直接删掉。删完后就是合法的了。

值域不允许质因子分解。

然后呢?……

上线段树不会/cf

基于值域预处理的快速 $gcd$

引理：对于任意整数 $n$，存在一种划分方式 $n=abc$，其中 $a,b,c$ 三数要么是质数，要么 $\le \sqrt{n}$。

裴蜀定理

若 $ax+by=m$ 有解，当且仅当 $gcd(a,b)|m$。

扩展欧几里得算法

矩阵表示形式没听。

VJUDGE BAEKJOON-19523

每条副对角线（取模意义下）的状态必然相同，条数为 $g=\frac{hw}{lcm(h,w)}=gcd(h,w)$。证明为设 $d$ 为一条副对角线上的点的数量，所以 $x+d\equiv x(\mathrm{mod}h),y-d\equiv y(\mathrm{mod}w)$，所以 $d\equiv 0(\mathrm{mod}h),d\equiv 0(\mathrm{mod}w)$，可得 $d=lcm(h,w)$，即可得所求条数。

因此我们只需确定这 $g$ 条对角线的值，最后的操作序列自然是 $a_0{a}_1\dots a_{g-1}{a}_0{a}_1\dots$。

不考虑内部状态的具体顺序，最后组合数处理一下即可。

不妨设序列 $a$ 中有 $k$ 个 $R$，$g-k$ 个 $D$，那么一个点 $(X,Y)$ 会走到 $(X+(g-k),Y+k)$，那么产生这种情况当且仅当存在一个 $x$ 使得 $x<\frac{hw}{g}$ 且 $h|x(g-k),w|xg$，注意到这等价于寻找最小的 $x$，判断其是否小于 $\frac{hw}{g}$，于是条件等价于 $x=lcm(\frac{h}{gcd(d-k,h)},\frac{w}{gcd(w,k)})$，枚举 $k$ 并判断即可。

几个《具体数学》上的简单例题

• Problem 1

• Problem 2

同余

基本性质

威尔逊定理

费马小定理

若 $n\perp p$ 且 $p$ 为质数，则 $n^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

不记了，我的评价是不如去看 早期数学笔记。

Day 2 可持久化数据结构

可持久化线段树

P3834 【模板】可持久化线段树 2

首先考虑静态全局第 $k$ 小，可以用权值线段树，在线段树上二分，同时也支持动态全局第 $k$ 小（单点修改）。

考虑静态区间第 $k$ 小，对于每个前缀 $a_{1,2,\dots ,n}$ 都建一个权值线段树 $T_i$，$T_i$ 中代表区间 $[l,r]$ 的节点存前缀 $a_{i,2,\dots ,n}$ 中有多少个数在 $[l,r]$ 内。

对于 $[l,r]$ 的询问，我们只需将 $T_r$ 与 $T_{l-1}$ 两棵树中的对应节点相减，就得到了该区间的权值线段树。

但一共需要 $O(n^2)$ 个节点，考虑优化。

发现 $T_i$ 较 $T_{i-1}$ 只修改了从 $a_i$ 对应的叶子节点到根节点的路径上的权值，共 $O(\log n)$ 个节点。

因此，从 $T_{i-1}$ 到 $T_i$ 的过程中，我们只需要新建发生变化的 $O(\log n)$ 个节点，剩下的节点与 $T_{i-1}$ 共用（即新建根节点，被修改的儿子新建节点，未被修改的儿子仍用 $T_{i-1}$ 的）。

区间修改同理，同样只有 $O(\log n)$ 个节点被修改。