一些组合数学的证明
广义二项式系数
\(\dbinom{a}{n} = \dfrac{a^\underline{n}}{n!}\)
证明：\(\dbinom{a}{n} = C_a^n = \dfrac{a!}{n!(a-n)!} , \dfrac{a^\underline{n}}{n!} = \dfrac{\frac{a!}{(a-n)!}}{n!} = \dfrac{a!}{n!(a-n)!}\)
对称公式
\(\dbinom{n}{m} = \dbinom{n}{n-m}\)
证明：\(\dbinom{n}{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!},\dbinom{n}{n-m}=\dfrac{n!}{(n-m)!m!}\)
加法公式
\(\dbinom{n}{m} = \dbinom{n-1}{m} + \dbinom{n-1}{m-1}\)
证明：\(\dbinom{n}{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}\),
\(\dbinom{n-1}{m} + \dbinom{n-1}{m-1}\)
\(= \dfrac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!} + \dfrac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}\)
\(= \dfrac{(n-1)!(n-m)}{(m-1)!(n-m-1)!m(n-m)} + \dfrac{(n-1)!m}{(m-1)!(n-m-1)!(n-m)m}\)
\(= \dfrac{(n-1)!(n-m+m)}{(m-1)!(n-m-1)!(n-m)m}\)
\(= \dfrac{n!}{m!(n-m)!}\)
感性理解：\(n\) 个数中取 \(m\) 个数的方案数，等于没选第 \(m\) 个数的和选了第 \(m\) 个数的方案数总和。
吸收公式
\(m\dbinom{n}{m} = n\dbinom{n-1}{m-1}\)
证明：
\(m\dbinom{n}{m}=m\times\dfrac{n!}{(m-1)!(n-m)!}=\dfrac{n!}{(m-1)!(n-m)!}\)
\(n\dbinom{n-1}{m-1}=n\times\dfrac{(n-1)!}{(m-1)![(n-1)-(m-1)]!}=\dfrac{n!}{(m-1)!(n-m)!}\)
三项式恒等式
\(\dbinom{a}{b}\dbinom{b}{c}=\dbinom{a}{c}\dbinom{a-c}{b-c}\)
证明：
\(\dbinom{a}{b}\dbinom{b}{c}=\dfrac{a!}{b!(a-b)!}\times\dfrac{b!}{c!(b-c)!}=\dfrac{a!}{c!(a-b)!(b-c)!}\)
\(\dbinom{a}{c}\dbinom{a-c}{b-c}=\dfrac{a!}{c!(a-c)!}\times\dfrac{(a-c)!}{(b-c)![(a-c)-(b-c)]!}=\dfrac{a!}{c!(a-b)!(b-c)!}\)
上指标求和
\(\sum\limits_{i=a}^{b} \dbinom{i}{a}=\dbinom{b+1}{a+1}\)
证明：
我们让等式左边加上 \(\dbinom{a}{a+1}\)，等式左边就为 \(\dbinom{a}{a+1}+\dbinom{a}{a}+\dbinom{a+1}{a}+\dbinom{a+2}{a}+\dots+\dbinom{b}{a}\)，利用加法公式，逐步转化为 \(\dbinom{b+1}{a+1}\)。
由于 \(\dbinom{a}{a+1}\)，所以原等式恒成立。
平行求和
\(\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{a+i}{i}=\dbinom{a+n+1}{n}\)
证明：
先利用对称公式，得到 \(\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{a+i}{i}=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{a+i}{a}=\sum\limits_{i=a}^{a+n}\dbinom{i}{a}\)
再利用上指标求和，得原式 \(=\dbinom{a+n+1}{a+1}\)
可以进一步再利用对称公式，得原式最终的值为 \(\dbinom{a+n+1}{n}\)
二项式定理
\((a+b)^n=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}{i}a^ib^{n-i}\)
证明比较显然，可以通过完全平方公式->三次方公式逐步推导得来。
范德蒙德卷积恒等式
\(\sum\limits_{i=0}^{a}\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{a-i}=\dbinom{n+m}{a}\)
证明：
首先，根据二项式定理，我们可以得到 \((x+1)^{n+m}=\sum\limits_{p=0}^{n+m}\dbinom{n+m}{p}x^p\)
我们再次利用二项式定理对等式左边进行操作：
\((x+1)^{n+m}=(x+1)^n(x+1)^m=\sum\limits_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}x^i\sum\limits_{j=0}^{m}\dbinom{m}{j}x^j\)
将对 \(i,j\) 的枚举提到前面来，得到：
\(\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m}\dbinom{n}{i}x^i\dbinom{m}{j}x^j\)
除了直接枚举 \(i,j\) 的值，我们可以考虑枚举 \(i,j\) 的和以及 \(i\) 的值，这样可以做到同样的 \(O(n^2)\) 内既有 \(i,j\) 的值（此时 \(j\) 的值为 \(sum-i\)），又能将 \(x_i,x_j\) 合并，以便后续操作：
原式 \(=\sum\limits_{sum=0}^{n+m}\sum\limits_{i=0}^{sum}\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{sum-i}x^{sum}\)
再根据最初的式子 \(\sum\limits_{p=0}^{n+m}\dbinom{n+m}{p}x^p\)，可以发现可以两个式子中的 \(p,sum\) 的含义相等，可以约掉，最终得到我们的范德蒙德卷积。
感性理解：等式右边可以看作在 \(n+m\) 个数中取 \(a\) 个数，我们可以枚举这 \(a\) 个数分别在区间 \([1,n]\) 和 \([n+1,m]\) 中的数量。
上指标范德蒙德卷积恒等式
\(\sum\limits_{i=a}^{n-b}\dbinom{i}{a}\dbinom{n-i}{b}=\dbinom{n+1}{a+b+1}\)
感性理解：将等式右边视作在 \(n+1\) 个数中取 \(a+b+1\) 个数，等式左边可以视作枚举第 \(a+1\) 个数，在 \([1,i]\) 中枚举前 \(a\) 个数，在剩下的 \(n-i\) 个数内选剩余的 \(b\) 个。（相当于说是枚举中间点的位置，然后分别向左向右扩展）
详细证明就先咕一下吧/gg
