一些组合数学的证明

广义二项式系数

$(\binom{a}{n}) = \frac{a^{\underset{―}{n}}}{n!}$

证明： $(\binom{a}{n}) = C_{a}^{n} = \frac{a!}{n! (a - n)!}, \frac{a^{\underset{―}{n}}}{n!} = \frac{\frac{a!}{(a - n)!}}{n!} = \frac{a!}{n! (a - n)!}$

对称公式

$(\binom{n}{m}) = (\binom{n}{n - m})$

证明： $(\binom{n}{m}) = \frac{n!}{m! (n - m)!}, (\binom{n}{n - m}) = \frac{n!}{(n - m)! m!}$

加法公式

$(\binom{n}{m}) = (\binom{n - 1}{m}) + (\binom{n - 1}{m - 1})$

证明： $(\binom{n}{m}) = \frac{n!}{m! (n - m)!}$ ,

$(\binom{n - 1}{m}) + (\binom{n - 1}{m - 1})$

$= \frac{(n - 1)!}{m! (n - m - 1)!} + \frac{(n - 1)!}{(m - 1)! (n - m)!}$

$= \frac{(n - 1)! (n - m)}{(m - 1)! (n - m - 1)! m (n - m)} + \frac{(n - 1)! m}{(m - 1)! (n - m - 1)! (n - m) m}$

$= \frac{(n - 1)! (n - m + m)}{(m - 1)! (n - m - 1)! (n - m) m}$

$= \frac{n!}{m! (n - m)!}$

感性理解： $n$ 个数中取 $m$ 个数的方案数，等于没选第 $m$ 个数的和选了第 $m$ 个数的方案数总和。

吸收公式

$m (\binom{n}{m}) = n (\binom{n - 1}{m - 1})$

证明：

$m (\binom{n}{m}) = m \times \frac{n!}{(m - 1)! (n - m)!} = \frac{n!}{(m - 1)! (n - m)!}$

$n (\binom{n - 1}{m - 1}) = n \times \frac{(n - 1)!}{(m - 1)! [(n - 1) - (m - 1)]!} = \frac{n!}{(m - 1)! (n - m)!}$

三项式恒等式

$(\binom{a}{b}) (\binom{b}{c}) = (\binom{a}{c}) (\binom{a - c}{b - c})$

证明：

$(\binom{a}{b}) (\binom{b}{c}) = \frac{a!}{b! (a - b)!} \times \frac{b!}{c! (b - c)!} = \frac{a!}{c! (a - b)! (b - c)!}$

$(\binom{a}{c}) (\binom{a - c}{b - c}) = \frac{a!}{c! (a - c)!} \times \frac{(a - c)!}{(b - c)! [(a - c) - (b - c)]!} = \frac{a!}{c! (a - b)! (b - c)!}$

上指标求和

$\sum_{i = a}^{b} (\binom{i}{a}) = (\binom{b + 1}{a + 1})$

证明：

我们让等式左边加上 $(\binom{a}{a + 1})$ ，等式左边就为 $(\binom{a}{a + 1}) + (\binom{a}{a}) + (\binom{a + 1}{a}) + (\binom{a + 2}{a}) + \dots + (\binom{b}{a})$ ，利用加法公式，逐步转化为 $(\binom{b + 1}{a + 1})$ 。

由于 $(\binom{a}{a + 1})$ ，所以原等式恒成立。

平行求和

$\sum_{i = 0}^{n} (\binom{a + i}{i}) = (\binom{a + n + 1}{n})$

证明：

先利用对称公式，得到 $\sum_{i = 0}^{n} (\binom{a + i}{i}) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{a + i}{a}) = \sum_{i = a}^{a + n} (\binom{i}{a})$

再利用上指标求和，得原式 $= (\binom{a + n + 1}{a + 1})$

可以进一步再利用对称公式，得原式最终的值为 $(\binom{a + n + 1}{n})$

二项式定理

$(a + b)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) a^{i} b^{n - i}$

证明比较显然，可以通过完全平方公式->三次方公式逐步推导得来。

范德蒙德卷积恒等式

$\sum_{i = 0}^{a} (\binom{n}{i}) (\binom{m}{a - i}) = (\binom{n + m}{a})$

证明：

OI-Wiki

首先，根据二项式定理，我们可以得到 $(x + 1)^{n + m} = \sum_{p = 0}^{n + m} (\binom{n + m}{p}) x^{p}$

我们再次利用二项式定理对等式左边进行操作：

$(x + 1)^{n + m} = (x + 1)^{n} (x + 1)^{m} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) x^{i} \sum_{j = 0}^{m} (\binom{m}{j}) x^{j}$

将对 $i, j$ 的枚举提到前面来，得到：

$\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} (\binom{n}{i}) x^{i} (\binom{m}{j}) x^{j}$

除了直接枚举 $i, j$ 的值，我们可以考虑枚举 $i, j$ 的和以及 $i$ 的值，这样可以做到同样的 $O (n^{2})$ 内既有 $i, j$ 的值（此时 $j$ 的值为 $s u m - i$ ），又能将 $x_{i}, x_{j}$ 合并，以便后续操作：

原式 $= \sum_{s u m = 0}^{n + m} \sum_{i = 0}^{s u m} (\binom{n}{i}) (\binom{m}{s u m - i}) x^{s u m}$

再根据最初的式子 $\sum_{p = 0}^{n + m} (\binom{n + m}{p}) x^{p}$ ，可以发现可以两个式子中的 $p, s u m$ 的含义相等，可以约掉，最终得到我们的范德蒙德卷积。

感性理解：等式右边可以看作在 $n + m$ 个数中取 $a$ 个数，我们可以枚举这 $a$ 个数分别在区间 $[1, n]$ 和 $[n + 1, m]$ 中的数量。

上指标范德蒙德卷积恒等式

$\sum_{i = a}^{n - b} (\binom{i}{a}) (\binom{n - i}{b}) = (\binom{n + 1}{a + b + 1})$

感性理解：将等式右边视作在 $n + 1$ 个数中取 $a + b + 1$ 个数，等式左边可以视作枚举第 $a + 1$ 个数，在 $[1, i]$ 中枚举前 $a$ 个数，在剩下的 $n - i$ 个数内选剩余的 $b$ 个。（相当于说是枚举中间点的位置，然后分别向左向右扩展）

详细证明就先咕一下吧/gg

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posted @ 2024-05-02 16:57 CheZiHe929 阅读(45) 评论(0) 编辑收藏举报

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