数论
数论
常见筛法
算术基本定理
对于任意正整数 \(A\)，存在唯一集合 {\((p_1,q_1),(p_2,q_2),\dots,(p_n,q_n)\)} 满足 \(A=\prod^n_{i=1} {p_i}^{q_i}\)，其中 \(p_i\) 是质数，\(q_i\) 是正整数。
\(\min(a,b)+\max(a,b)=a+b\)
\(\gcd(a,b)\times\operatorname{lcm}(a,b)=ab\)
埃氏筛
在 \(O(n \log\log n)\) 时间内预处理出 \([1,n]\) 内所有的质数。
\([2,n]\) 进行扫描，未标记则加入质数中，并把倍数标记为合数。
- P7960 [NOIP2021] 报数
埃氏筛思想，将十进制含有 \(7\) 的数看为“类质数”。
- P1835 素数密度
仍然考虑埃氏筛，扫描每个 \(\le \sqrt{R}\)，并对其在 \([L,R]\) 内的倍数标记为合数。则该区间中剩下的未被标记的数即为质数。
这种方法被称为区间筛。
线性筛
\(O(n)\) 计算。
令 \(low(n)\) 表示 \(n\) 的最小质因子，对 \([2,n]\) 扫描，对于 \(i\)，我们枚举所有 \(\le low(i)\) 的质数 \(j\)，并将 \(ij\) 标记为合数。
发现 \(n\) 只会在 \(\dfrac{n}{low(n)}\) 处被标记，故总复杂度为 \(O(n)\)。
bool f[MAXN];//1 合数 0 质数
void Xprime(int n){
f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(flag[i]==0)//质数
prime[++sum]=i;
for(int j=1;j<=sum&&i*prime[j]<=n;j++){//从已知质数枚举，注意范围
flag[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) break;//i=kj(k>=0) 在 low(x) 即 j 处筛过了
}
}
}
- Problem 1
求对于 \([1,n]\) 中的每个数的质因子的个数。
令 \(d(i)\) 表示 \(i\) 的质因子个数，在线性筛时，直接将质数 \(p\) 的 \(d(p)\) 设为 \(1\)，并在从 \(i\) 转移得到 \(p_i\) 时令 \(d(p_i)=d(i)+1\)，复杂度仍为 \(O(n)\)。
欧拉函数
- 互质
正整数 \(a,b\) 互质当且仅当 \(\gcd(a,b)=1\)。
- 欧拉函数
\(\phi(n)\) 表示 \([1,n]\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。有\(n=\sum_{d|n} \phi(\frac{n}{d})\)
如果 \(\gcd(p,q)=1\)，则 \(\phi(pq)=\phi(p)\phi(q)\)，证明看图吧（）
对于质数 \(p_k\),\(\gcd(a,p^k)=1\) 当且仅当 \(a\) 是 \(p\) 的倍数，因此 \(\phi(p^k)=(p-1)p^{k-1}\)。
模意义
光速乘
ll times(ll a,ll b,ll c){
ull t=(long double)a*b/c+0.5;
ll ans=(ull)a*b-t*c;
if(ans<0) ans+=c;
return ans;
}
逆元
模意义下的除法
\(a\) 的逆元是 \(a\) 在模意义下的倒数，逆元关系相互的。
威尔逊定理
对于质数 \(p\)，有 \(1\times 2\times \dots \times(p-1）\equiv -1(\mod p)\)
费马小定理
\(p\) 为质数：
\(a^{p-1} \equiv 1(\mod p)\)
\(a^{-1} \equiv a^{p-2}\)，用快速幂求
\(p\) 为合数：
欧拉定理
若 \(p \ge 2\) 且 \(\gcd(a,p) =1\) ，则 \(a^(\phi(p)) \equiv 1(\mod p)\)
线性预处理逆元
- \(1\) 的逆元为 \(1\)。
- 让 \(p\) 对 \(i\) 作带余除法，得到 \(p=qi+r(r<i)\)
- 将等式带入
inv[i]=fac[i-1]*ifac[i]
裴属定理
对于所有的 \(ai+bj\)，最小的正整数为 \(\gcd(a,b)\)
