CF1925B A Balanced Problemset? 题解

CF1925B 题解

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题目大意

有一个长度为 $n$ 且和为 $x$ 的正整数序列，询问该序列可能的最大公因数。

多测。

简要思路

首先先给出结论：

最终的答案一定是 $x$ 的因数。

接下来我通过两种方法证明：

一、类似于“更相减损法”

一个序列的 $gcd$ 等于该序列前缀和后的 $gcd$。

即我们设该序列为 $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$。

$gcd(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)=gcd(a_1,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,\dots ,a_1+a_2+a_3+\dots +a_n)=gcd(a_1,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,\dots ,x)$

因为 $gcd$ 中含有 $x$，且是最大公因数，因此最终答案一定是 $x$ 的因数。

考虑证明 一个序列的 gcd 等于该序列前缀和后的 gcd 的正确性：

即证明 $gcd(A,B)=gcd(A,A+B)$。

我们用类似于“更相减损法”来证明。

我们设 $A,B$ 的最大公约数为 $g$，那么 $A=ag,B=bg$（其中 $a,b$ 均为正整数）。

设 $C=A+B$，则有 $C=A+B=ag+bg=(a+b)g$。

由于 $a,b>0$，所以 $a+b>0$，所以 $A,B,C$ 三者的最大公因数为 $g$。

所以我们就证得结论：$gcd(A,B,C)=gcd(A,C)=gcd(A,A+B)=gcd(A,B)$

二、通过子序列来表示 $x$

我们设该序列为 $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$，该序列的最大公因数为 $g$，则有 $a_1=b_1\times g,a_2=b_2\times g,a_3=b_3\times g,\dots ,a_n=b_n\times g$（其中 $b$ 数组均为正整数）。

因为 $x$ 为该序列的和，所以 $x=a_1+a_2+a_3+\dots +a_n=b_1\times g+b_2\times g+b_3\times g+\dots +b_n\times g=(b_1+b_2+b_3+\dots +b_n)\times g$。

所以 $g$ 一定是 $x$ 的因子。

用人话来解释一下，就是通过 $a$ 数组的值的乘法分配律得到 $x$ 的值，然后 $x$ 的值是由一个大于等于 $n$ 的正整数 $\times g$ 组成的，因此 $g$ 一定是 $x$ 的因子。

以上就是两种证明方法。

知道了答案一定是 $x$ 的因子后，我们再来考虑什么样的因子可以作为答案。

现在我们考虑 $x$ 的一个因子 $d$，如果 $n\times d\le x$，则我们可以选择该序列为 $d,d,d,\dots ,x-(n-1)\times d$，因为 $d$ 为 $x$ 的因子且 $n\times d\le x$，所以最后一个数 $x-(n-1)\times d$ 还可以表示为 $(x/d-n-1)\times d$。

所以该序列的每个数都为 $d$ 的倍数，因此 $d$ 可能成为答案。

但如果当前的因子 $d$ 使得 $n\times d>x$，即 $x/d<n$，那么我们就无法用 $d$ 这个因子填满整个序列，因此无法对答案影响。

因此我们只需枚举 $x$ 的因数并判断其是否满足 $\times n\le x$ 即可。

但是要注意，$1\le x\le {10}^8$，所以我们不能直接枚举 $1$ 到 $x$，需要使用和判断质数中一样的思想——平凡因子分解的方法（即枚举到根号）来解决。

复杂度 $O(T\sqrt{x})$。

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'
 
int T,x,n;
 
signed main(){
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(0);
 
	std::cin>>T;
	while(T--){
		std::cin>>x>>n;
		int maxn=-1;
		
		for(int i=1;i*i<=x;i++){//平凡因子分解
		    if(x%i==0){
		    	if(i*n<=x)maxn=std::max(maxn,i);
		    	if(x/i*n<=x)maxn=std::max(maxn,x/i);
			}
		}
		std::cout<<maxn<<endl;
	}
 
	return 0;
}

THE END.

THANK YOU.