CF718C Sasha and Array

题意

给定长度为 $ n $ 的序列 $ a$ 要求支持 $ m $ 次操作：

$ opt_1 $ ：给定 $ fr_i , to_i , val_i,\forall i \in [fr_i , to_i] , a_i = a_i + val_i $；

$ opt_2 $ ：给定 $ fr_i , to_i $ 求 $ \sum\limits_{i=fr_i}^{to_i} f(a_i) $ 对 $10^9+7$ 取模后的结果。

其中 $ f(i) $ 表示斐波那契数列第 $ i$ 项，$ f(i) = \left\{\begin{aligned} 1 \space (n \le 2) \\ f(n-1)+f(n-2) \space (n\ge 3) \end{aligned}\right. $

数据范围

$ n,m \leq 100000 $。

Solution

发现题目要求区间操作，考虑线段树维护。

对于斐波那契数列，显然地可以构造矩阵转移：

$ \begin{bmatrix} f(i) & f(i-1) \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(i+1) & f(i) \end{bmatrix} $

且矩阵满足结合律，用线段树+矩阵快速幂维护即可。

一些细节

初始化线段树时，对值为 $ 1 $ 的结点都置为 $ \begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix} $ ，其他节点赋值为 $ \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} ^{n-2}$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod(a) a>1000000007?a-1000000007:a
static inline char Get_Char()
{  
    static char buffer[100000],*S=buffer,*T=buffer;
    return (S==T&&(T=(S=buffer)+fread(buffer,1,100000,stdin),S==T)?EOF:*S++);
}
inline int read()
{
    int res=0,flag=1;
    char ch=Get_Char();
    while(!isalnum(ch)) (ch=='-')?flag=-1:1,ch=Get_Char();
    while(isalnum(ch)) res=res*10+ch-'0',ch=Get_Char();
    return res*flag;
} 
inline void write(int x)
{
    char buf[20]; int len=0;
    if(x<=0) putchar((x==0)?'0':'-'); x=abs(x);
    while(x!=0) buf[++len]=x%10+'0',x/=10;
    while(len!=0) putchar(buf[len--]);
    putchar('\n');
}
const int mod=1e9+7;
struct matrix
{
    int val[2][2];
    void Set()
    {
        val[0][0]=val[1][1]=1;
        val[0][1]=val[1][0]=0;
        return ;
    }
    struct matrix operator *(const struct matrix &other)const
    {
        struct matrix res;
        res.val[0][0]=mod((long long)this->val[0][0]*other.val[0][0]%mod+(long long)this->val[0][1]*other.val[1][0]%mod);
        res.val[1][0]=mod((long long)this->val[1][0]*other.val[0][0]%mod+(long long)this->val[1][1]*other.val[1][0]%mod);
        res.val[0][1]=mod((long long)this->val[0][0]*other.val[0][1]%mod+(long long)this->val[0][1]*other.val[1][1]%mod);
        res.val[1][1]=mod((long long)this->val[1][0]*other.val[0][1]%mod+(long long)this->val[1][1]*other.val[1][1]%mod);
        return res;
    }
    struct matrix operator +(const struct matrix &other)const
    {
        struct matrix res;
        res.val[0][0]=mod(this->val[0][0]+other.val[0][0]);
        res.val[0][1]=mod(this->val[0][1]+other.val[0][1]);
        res.val[1][0]=mod(this->val[1][0]+other.val[1][0]);
        res.val[1][1]=mod(this->val[1][1]+other.val[1][1]);
        return res;
    }
    /*
    void print()
    {
        for(int i=0;i<=1;i++)
        {
            for(int j=0;j<=1;j++)
                cout<<val[i][j]<<" ";
            cout<<endl;
        }
        return ;
    }*/
};
struct node
{
    struct matrix data,tag;
};
struct matrix base[50];
struct node nd[400010];
int val[100010];
struct matrix quick(int p)//a=f(now+p)
{
    struct matrix res;
    res.Set();
    for(int i=1;i<=46&&p!=0;i++)
    {
        if(p&1)
            res=res*base[i];
        p>>=1;
    }
    return res;
}
void pushdown(int id)
{
    nd[id<<1].tag=nd[id<<1].tag*nd[id].tag;
    nd[id<<1|1].tag=nd[id<<1|1].tag*nd[id].tag;
    nd[id<<1].data=nd[id<<1].data*nd[id].tag;
    nd[id<<1|1].data=nd[id<<1|1].data*nd[id].tag;
    nd[id].tag.Set();
    return ; 
}
void pushup(int id)
{
//  nd[id].sum=(nd[id<<1].sum+nd[id<<1|1].sum)%mod;
    nd[id].data=nd[id<<1].data+nd[id<<1|1].data;
    return ;
}
void build(int left,int right,int id)
{
    nd[id].tag.Set();
    if(left==right)
    {
        if(val[left]==1)
            nd[id].data.val[0][0]=1;
        else
            nd[id].data.val[0][0]=nd[id].data.val[0][1]=1;
        if(val[left]>2)
            nd[id].data=nd[id].data*quick(val[left]-2);
        return ;
    }
    int mid=(left+right)>>1;
    build(left,mid,id<<1);
    build(mid+1,right,id<<1|1);
    pushup(id);
    return ;
}
void modify(int left,int right,int id,int start,int end,int value)
{
    if(right<start||end<left)
        return ;
    if(start<=left&&right<=end)
    {
        struct matrix tmp=quick(value);
        nd[id].data=nd[id].data*tmp;
        nd[id].tag=nd[id].tag*tmp;
        return ;
    }
    int mid=(left+right)>>1;
    pushdown(id);
    modify(left,mid,id<<1,start,end,value);
    modify(mid+1,right,id<<1|1,start,end,value);
    pushup(id);
    return ;
}
int query(int left,int right,int id,int start,int end)
{
    if(right<start||end<left)
        return 0;
    if(start<=left&&right<=end)
        return mod(nd[id].data.val[0][0]);
    int mid=(left+right)>>1;
    pushdown(id);
    int ansl=query(left,mid,id<<1,start,end);
    int ansr=query(mid+1,right,id<<1|1,start,end);
    return mod(ansl+ansr);
}
int main(int argc,const char *argv[])
{
    base[1].val[0][0]=base[1].val[0][1]=base[1].val[1][0]=1;
    int n=read(),q=read();
    for(int i=2;i<=46;i++)
        base[i]=base[i-1]*base[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        val[i]=read();
    build(1,n,1);
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        int opt=read(),l=read(),r=read();
        if(opt==1)
        {
            int value=read();
            modify(1,n,1,l,r,value);
        }
        if(opt==2)
            write(query(1,n,1,l,r));
    }
    return 0;
}