深入理解浮点数有效位，浮点数分布
平时接触C及Java较多，这种层次的语言对数据的表示有一定局限。基本的数据类型无外呼整数和浮点数。整数好说，一般仅需考虑越界问题。但对于浮点数，除了范围外，通常很容易忽略精度问题。
浮点数为什么会有精度问题？计算机中的浮点数对应于数学当中的小数。简单计算下，32位浮点数最多可以表示2^32个数，但从数学上说区间[0,1]中的小数就有无穷多个。所以计算机是不可能描述得尽的，必然会有一些近似，也就带来了精度损失。
所以在使用计算机中的浮点数之前，我们先要搞清楚计算机表示小数有多准。
浮点数标准
考虑这个问题，首先要知道浮点数在计算机中是怎么表示的。当前，计算机中浮点数采用的是IEEE 754标准。浮点数分为单精度浮点数(32位)和双精度浮点数(64位)。浮点数的基本格式如下：
各部分含义如下：
sign：符号位，0表示正，1表示负
exponent：阶码，浮点数的幂次。一般采用移码表示。
fraction：浮点数的小数部分
上述格式描述的浮点数的十进制值为V=(-1)^SX(1.fraction)X2^E。其中(-1)^S表示符号，1.fraction是二进制的小数，2^E表示幂次，类似于二进制的科学计数法。由于除0外的所有小数都可以写成1.fractionX2^E的形式，因而，在表示浮点数时，省略掉了前面的整数部分1.
对于单精度浮点数，S是1位，E是8位，小数部分是23位。对于双精度浮点数，S是1位，E是11位，小数部分是52位。指数部分E有正负性，使用移码表示。8位E要表示正负，一般减去127，23位则是减去1023。例如，实际的小数指数部分是0的话，在单精度浮点数表示中，E部分是127.
上面描述的是规格化的浮点数，如果浮点数的阶码部分全0或者全1，则表示非规格化的浮点数。
（1）阶码不是全0或全1，规格化浮点数。
（2）阶码全0：表示0.fractionX2^-126次。注意，此时指数部分是1-127.这一类表示了接近0的小数部分。
（3）阶码全1：如果小数部分全0，表示正负无穷大。如果出现1，表示不是一个数（NaN）。
浮点数精度
通过上面的介绍可以发现，浮点数的精度取决于二进制小数部分的精度。对于单精度浮点数，小数部分有23位，对应十进制小数见下表：
| 二进制小数 | 十进制小数 |
| 2^-23 | 0.00000011920928955078125 |
| 2^-22 | 0.0000002384185791015625 |
| 2^-21 | 0.000000476837158203125 |
| 2^-20 | 0.00000095367431640625 |
| 2^-19 | 0.0000019073486328125 |
| 2^-18 | 0.000003814697265625 |
由于是规格化的浮点数，所以小数部分都要加上1，可以知道，单精度浮点数的小数部分最小是1.00000011920928955078125，其次是1.0000002384185791015625，注意到这两个小数之间是有间隔的，如果要表示1.0000001和1.0000002之间的小数，则单精度浮点数无能为力，1.0000001已经是23位小数部分描述的最小值了。通过这样的分析可以发现，23位只能描述到小数点后第7位，即1.0000001，1.0000002，1.0000004，1.0000009对应了二进制的小数值，其他要通过上面几个的组合来表示。
事实上，如果考虑第八位的舍入，1.0000004，1.0000009本身的表示也是不准确的。为了验证这一点，通过程序将1.0000001到1.0000009的结果均打印出来，得如下：
程序中直接将1.0000001到1.0000009分别赋给float型变量，左边一列是输出时小数点后保留7位的结果，右边是保留了25位的结果。
通过上面的结果可以发现，小数点后第7位是部分准确的。例如，1.0000004就是1.00000035通过得到的，其实际保存和1.0000003相同。1.0000006也是通过舍入得到的。再往前第6位及以后均可以通过小数准确表示出来。通常说float数据的有效位是6~7位，也是这个原因。
类似的分析，双精度浮点数小数部分有52位，和上面类似，最低6位(2^-52,2^-51,......)表示的规格化小数如下所示。从图中可以看出，双精度浮点数能准确表示到小数点后第15位，第16位部分准确。
整数转化为浮点数
那么如果一个整数用float来存储，保存的精度有多少呢？首先，我们需要将整数转化为二进制科学计数法形式，然后再对应到规格化浮点数中。在处理小数部分时，多余的数位即为损失的精度。
可以测试二进制整数1000 0000 0000 0000 0000 0001，即小数点后面刚好23位。下图展示了小数点后23位、24位及0位的输出结果。只有小数点后24位这一种情况数据表示是不准确的，虽然损失的小数点后第24位，但在科学计数法的前提下，真实值相差为1.
由此可以确定，从1到0xFFFFFF(24位全1，16777215)的整数均可以表示为不超过24位的二进制整数，小数部分不超过23位，因而可以准确的用浮点数表示。还有一部分整数，在表示为二进制的科学计数法时，小数部分不超过23位，也可以准确表示，除此外，其他整数，转化为float后均会损失精度。
一般来说，无论是整数或者小数，用float表示时，从左边第一个非0的数字算起，从高到低的7位是准确的。此后的数位是不能保证精确的。
相应的，从1到0x1FFFFFFFFFFFFF(53位全1，18014398509481983)均可以准确用double来表示。其他整数，只有在转化为double时小数部分不超过52位才可以精确表示。否则，会有一定的精度损失。无论整数或者小数，用double表示时，从左边第一个非0的数字起，从高到低的16位是准确的，此后的数位不一定精确。
浮点数分布
通过上面的分析可以发现，尽管浮点数表示的范围很广，但由于精度损失的存在，加上幂次的放大作用，一个浮点数实际上是表示了周围的一个有理数区间。如果将浮点数绘制到一个数轴上，直观上看，靠近0的部分，浮点数出现较密集。越靠近无穷大，浮点数分布越稀疏，一个浮点值代表了周围一片数据。如下图所示。从这个意义上来说，浮点数不宜直接比较相等，它们是代表了一个数据范围。实际应用中，如果要使用浮点数计算，一定要考虑精度问题。在满足精度要求的前提下，计算结果才是有效的。
在计算精度要求情形下，例如商业计算等，应该避免使用浮点数，严格采取高精度计算。
