CSP2024 前集训：多校A层冲刺NOIP2024模拟赛06

前言

写晚了，忙着打 abc 和 scp 了。

scp T1送，T2T3T4 防 AK。

T1 小 Z 的手套

二分答案，双指针进行转移，若差值在 \(mid\) 范围内则转移，\(O(n\log(v))\)。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define sort stable_sort
using namespace std;
const int N=1e5+10;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
	x=0;register bool z=true;
	register char c=getchar_unlocked();
	for(;!isdigit(c);c=getchar_unlocked()) if(c=='-') z=0;
	for(;isdigit(c);c=getchar_unlocked()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	x=(z?x:~x+1);
}
template<typename T,typename ...Tp> inline void read(T &x,Tp &...y){read(x);read(y...);}
template<typename Tp> inline void wt(Tp x){if(x>9)wt(x/10);putchar_unlocked((x%10)+'0');}
template<typename Tp> inline void write(Tp x){if(x<0)putchar_unlocked('-'),x=~x+1;wt(x);}
template<typename T,typename ...Tp> inline void write(T x,Tp ...y){write(x);putchar_unlocked(' ');write(y...);}
int n,m,ans,a[N],b[N];
bool check(int x)
{
	for(int i=1,j=1;i<=n;i++,j++)
	{
		while(j<=m&&b[j]<a[i]-x) j++;
		if(j>m||b[j]>a[i]+x) return 0;
	}
	return 1;
}
signed main()
{
	freopen("gloves.in","r",stdin),freopen("gloves.out","w",stdout);
	read(n,m);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]); sort(a+1,a+1+n);
	for(int i=1;i<=m;i++) read(b[i]); sort(b+1,b+1+m);
	if(n>m) swap(n,m),swap(a,b);
	for(int l=0,r=(int)1e9,mid;l<=r;)
	{
		mid=l+r>>1;
		if(check(mid)) r=mid-1,ans=mid;
		else l=mid+1;
	}
	write(ans);
}

T2 小 Z 的字符串

直接 DP，\(f_{i,j,k,h,s}\) 表示到了第 \(i\) 位，有 \(j\) 个 \(0\)，\(k\) 个 \(1\)，\(h\) 个 \(2\)，以 \(s\) 结尾的答案最小值，有转移：

\[\begin{cases} f_{i,j,k,h,0}=\min(f_{i-1,j-1,k,h,1},f_{i-1,j-1,k,h,2}+|pos_{0,j}-i|)\\ f_{i,j,k,h,1}=\min(f_{i-1,j,k-1,h,0},f_{i-1,j,k-1,h,1}+|pos_{1,k}-i|)\\ f_{i,j,k,h,2}=\min(f_{i-1,j,k,h-1,0},f_{i-1,j,k,h-1,1}+|pos_{2,h}-i|)\\ \end{cases}\]

\(pos_{i,j}\) 表示第 \(j\) 个 \(i\) 字符在原串中出现的位置，注意一下边界即可，复杂度不对，发现 \(j+k+h=i\)，所以可以省去一维，可以滚动数组优化空间。

最后答案为 \(\dfrac{\min(f_{n,cnt_0,cnt_1,cnt_2,0},f_{n,cnt_0,cnt_1,cnt_2,1},f_{n,cnt_0,cnt_1,cnt_2,2})}{2}\)，因为挪过去和挪回来算了两次贡献。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define sort stable_sort
using namespace std;
const int N=410;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
	x=0;register bool z=true;
	register char c=getchar_unlocked();
	for(;!isdigit(c);c=getchar_unlocked()) if(c=='-') z=0;
	for(;isdigit(c);c=getchar_unlocked()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	x=(z?x:~x+1);
}
template<typename T,typename ...Tp> inline void read(T &x,Tp &...y){read(x);read(y...);}
template<typename Tp> inline void wt(Tp x){if(x>9)wt(x/10);putchar_unlocked((x%10)+'0');}
template<typename Tp> inline void write(Tp x){if(x<0)putchar_unlocked('-'),x=~x+1;wt(x);}
template<typename T,typename ...Tp> inline void write(T x,Tp ...y){write(x);putchar_unlocked(' ');write(y...);}
char s[N]; int n,cnt[3],f[2][N>>1][N>>1][3]; vector<int>pos[3];
signed main()
{
	freopen("string.in","r",stdin),freopen("string.out","w",stdout);
	scanf("%s",s+1); n=strlen(s+1); 
	for(int i=1;i<=n;i++) pos[s[i]-'0'].push_back(i),cnt[s[i]-'0']++;
	if(cnt[0]>(n+1>>1)||cnt[1]>(n+1>>1)||cnt[2]>(n+1>>1)) return puts("-1"),0;
	memset(f,0x3f,sizeof(f)),f[0][0][0][0]=f[0][0][0][1]=f[0][0][0][2]=0;
	for(int i=1,x=1,y=0;i<=n;i++,x^=1,y^=1) 
		for(int j=0;j<=min(i,cnt[0]);j++)
			for(int k=0,h;k<=min({i,i-j,cnt[1]});k++) if((h=i-j-k)<=cnt[2])
			{
				if(j) f[x][j][k][0]=min(f[y][j-1][k][1],f[y][j-1][k][2])+abs(i-pos[0][j-1]);
				if(k) f[x][j][k][1]=min(f[y][j][k-1][0],f[y][j][k-1][2])+abs(i-pos[1][k-1]);
				if(h) f[x][j][k][2]=min(f[y][j][k][0],f[y][j][k][1])+abs(i-pos[2][h-1]);
			}
	write(min({f[n&1][cnt[0]][cnt[1]][0],f[n&1][cnt[0]][cnt[1]][1],f[n&1][cnt[0]][cnt[1]][2]})>>1);
}

T3 一个真实的故事

• 部分分 \(50pts\)：\(O(n^2)\) 双指针跑。

• 部分分 \(95pts\)：\(O(nk\log(n))\) 修改，\(O(1)\) 查询，维护 \(pre,nxt\) 的暴力，\(95pts\) 因为加 hack 了。

• 正解：

  考虑线段树，主要是怎么 pushup 的问题。

  考虑用一个 long long 把都有哪些数二进制压起来，类似于区间子段和一样维护前缀与其端点，后缀与其端点，区间答案，答案考虑使用关于 \(k\) 的前缀和加双指针更新。

  就是实现起来比较不好调，直接看代码吧。

  点击查看代码

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ll long long
  #define endl '\n'
  #define sort stable_sort
  #define mid (l+r>>1)
  #define ls (mid<<1)
  #define rs (mid<<1|1)
  using namespace std;
  const int N=5e4+10,M=35,inf=0x3f3f3f3f;
  template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
  {
  	x=0;register bool z=true;
  	register char c=getchar_unlocked();
  	for(;!isdigit(c);c=getchar_unlocked()) if(c=='-') z=0;
  	for(;isdigit(c);c=getchar_unlocked()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
  	x=(z?x:~x+1);
  }
  template<typename T,typename ...Tp> inline void read(T &x,Tp &...y){read(x);read(y...);}
  template<typename Tp> inline void wt(Tp x){if(x>9)wt(x/10);putchar_unlocked((x%10)+'0');}
  template<typename Tp> inline void write(Tp x){if(x<0)putchar_unlocked('-'),x=~x+1;wt(x);}
  template<typename T,typename ...Tp> inline void write(T x,Tp ...y){write(x);putchar_unlocked(' ');write(y...);}
  int n,k,m,mx,a[N],val[N<<1],sum[N<<1],sp[N<<1][M],ss[N<<1][M];
  ll pre[N<<1][M],suf[N<<1][M];
  void pushup(int p,int l,int r)
  {
  	val[p]=min(val[ls],val[rs]),sum[p]=sum[ls];
  	for(int i=1;i<=sum[ls];i++) pre[p][i]=pre[ls][i],sp[p][i]=sp[ls][i];
  	for(int i=1,j=sum[ls];i<=sum[rs];i++)
  		if((pre[p][j]&pre[rs][i])!=pre[rs][i])
  		{
  			pre[p][sum[p]=++j]=pre[p][j]|pre[rs][i];
  			sp[p][j]=sp[rs][i];
  		}
  	for(int i=1;i<=sum[rs];i++) suf[p][i]=suf[rs][i],ss[p][i]=ss[rs][i];
  	for(int i=1,j=sum[rs];i<=sum[ls];i++)
  		if((suf[p][j]&suf[ls][i])!=suf[ls][i])
  		{
  			suf[p][++j]=suf[p][j]|suf[ls][i];
  			ss[p][j]=ss[ls][i];
  		}
  	for(int i=sum[ls],j=1;i;i--)
  	{
  		for(;j<=sum[rs]&&(suf[ls][i]|pre[rs][j])!=mx;j++);
  		if(j<=sum[rs]) val[p]=min(val[p],sp[rs][j]-ss[ls][i]+1);
  	}
  }
  void build(int p,int l,int r)
  {
  	if(l==r)
  	{
  		sp[p][1]=ss[p][1]=l,pre[p][1]=suf[p][1]=1ll<<(a[l]-1);
  		return sum[p]=1,val[p]=inf,void();
  	}
  	build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r),pushup(p,l,r);
  }
  void change(int p,int l,int r,int x,int d)
  {
  	if(l==r) return pre[p][1]=suf[p][1]=1ll<<(d-1),void();
  	x<=mid?change(ls,l,mid,x,d):change(rs,mid+1,r,x,d),pushup(p,l,r);
  }
  signed main()
  {
  	freopen("truth.in","r",stdin),freopen("truth.out","w",stdout);
  	read(n,k,m),mx=(1<<k)-1; for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
  	build(1,1,n); for(int op,x,y;m;m--)
  	{
  		read(op);
  		if(op&1) read(x,y),change(1,1,n,x,y);
  		else write(val[1]>n?-1:val[1]),puts("");
  	}
  }
  

T4 异或区间

本题可拆分成两个题，分别是 P4755 Beautiful Pair 和 CF665E Beautiful Subarrays。

P4755 Beautiful Pair

区间最值可以单调栈维护，那么对于每个 \(i\)，\([l_i,i]\) 中的左端点与 \([i,r_i]\) 中的右端点都以 \(a_i\) 为最大值。

那么考虑确定了一个端点，在另一个区间里找到满足的就可以了，发现复杂度不正确，考虑类似与启发式合并的选择较小的一遍枚举，这样每一个点被枚举到其上一个区间一定 \(\ge 2len\)，所以最多被枚举到 \(\log\) 次，可以套个主席树或扫描线加树状数组做，复杂度 \(O(n\log^2(n))\)。

类似的操作是笛卡尔树，但我不会那玩意，思路是一致的。

CF665E Beautiful Subarrays

建 01trie，求出异或前缀和，那么每次查询的时候，因为要 \(\ge k\)，所以若 \(k\) 当前位为 \(1\)，则必须向相反一边走，否则加上往相反一边走的贡献，继续往相同的一边走。

对于本题

就把上面两个合起来就可以了，第一道题的操作套个可持久化 01trie。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define sort stable_sort
#define son(p,c) t[p].son[c]
#define cnt(p) t[p].cnt
using namespace std;
const int N=1e5+10;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
	x=0;register bool z=true;
	register char c=getchar_unlocked();
	for(;!isdigit(c);c=getchar_unlocked()) if(c=='-') z=0;
	for(;isdigit(c);c=getchar_unlocked()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	x=(z?x:~x+1);
}
template<typename T,typename ...Tp> inline void read(T &x,Tp &...y){read(x);read(y...);}
template<typename Tp> inline void wt(Tp x){if(x>9)wt(x/10);putchar_unlocked((x%10)+'0');}
template<typename Tp> inline void write(Tp x){if(x<0)putchar_unlocked('-'),x=~x+1;wt(x);}
template<typename T,typename ...Tp> inline void write(T x,Tp ...y){write(x);putchar_unlocked(' ');write(y...);}
int n,tot,a[N],vl[N],vr[N],rt[N],sum[N],sta[N]; ll ans;
struct aa {int son[2],cnt;}t[N<<5];
void insert(int &now,int last,int x)
{
	now=++tot; int p=now,q=last;
	for(int i=30,c;i>=0;i--)
	{
		son(p,0)=son(q,0),son(p,1)=son(q,1);
		cnt(p=son(p,c)=++tot)=cnt(q=son(q,c=(x>>i)&1))+1;
	}
}
int ask(int p,int q,int x,int y)
{
	int res=0; for(int i=30,c;i>=0;i--)
	{
		if((y>>i)&1) 
		{
			res+=cnt(son(p,c=(x>>i)&1))-cnt(son(q,c));
			p=son(p,!c),q=son(q,!c);
		}
		else p=son(p,c=(x>>i)&1),q=son(q,c);
		if(!p) break;
	}
	return res+cnt(p)-cnt(q);
}
signed main()
{
	freopen("xor.in","r",stdin),freopen("xor.out","w",stdout);
	read(n); insert(rt[1],rt[0],0);
	for(int i=1,top=0;i<=n;i++)
	{
		for(read(a[i]);top&&a[sta[top]]<a[i];top--);
		vl[i]=top?sta[top]+1:1,sta[++top]=i;
		insert(rt[i+1],rt[i],sum[i]=sum[i-1]^a[i]);
	}
	for(int i=n,top=0;i;i--)
	{
		for(;top&&a[sta[top]]<=a[i];top--);
		vr[i]=top?sta[top]-1:n,sta[++top]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(i-vl[i]<vr[i]-i) for(int j=vl[i];j<=i;j++)
			ans+=ask(rt[vr[i]+1],rt[i],sum[j-1],a[i]);
		else for(int j=i;j<=vr[i];j++)
			ans+=ask(rt[i],rt[vl[i]-1],sum[j],a[i]);
	}
	write(ans);
}