CSP2024 前集训：csp-s模拟10

前言

T2 赛时不会，T3 没有想到移项遂打了个背包得 \(50pts\)，T4 又放回滚莫队板子，结过开太晚了没打完，以后板子麻烦放靠前点谢谢。

T1

需要线性基思想，听 5k 讲完貌似懂了，但是学了再回来补吧。

T2

首先选择一个度数不是 \(1\) 的点当根。

对于一个非叶子节点 \(p\) 被扫到有两种情况：

1. 两个叶子 \(x,y\) 且 \(lca(x,y)=p\)。
2. 子树内一个叶子 \(x\) 去连接子树外的一个叶子 \(y\)。

对于第一种情况，两个叶子产生一次贡献，此时这两个叶子就可以消去 \(1\) 了。

对于第二种情况，一个叶子即可产生一次贡献，无法消去，故此不放另 \(p\) 集成 \(son_p\) 的贡献继续递归。

\(f_p\) 表示 \(p\) 集成或叶子本身存在的贡献，因为 \(p\) 最多只能被扫 \(a_p\) 遍，所以当 \(sum=\sum\limits_{x\in son_p}f_x>a_p\) 时就需要一些情况一，设情况一个数为 \(y\)，则有 \(y=sum-a_p\)，那么有 \(f_p=sum-2y\)，发现这些都是定值，DP 就可以转移了。

那么如何判无解，每两个贡献才能凑一个操作一，同时一个贡献最多的叶子节点 \(x\) 只能凑够 \(sum-f_x\) 个操作一，故需同时满足：

• \(0\le f_p\le a_p\)
• \(\dfrac{sum}{2}\ge y\)
• \(sum-\max\limits_{x\in son_p}f_x\ge y\)
• \(f_{rt}=0\)

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define endl '\n'
#define sort stable_sort
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=1e5+10;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
	x=0;register bool z=true;
	register char c=getchar_unlocked();
	for(;!isdigit(c);c=getchar_unlocked()) if(c=='-') z=0;
	for(;isdigit(c);c=getchar_unlocked()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	x=(z?x:~x+1);
}
template<typename T,typename ...Tp> inline void read(T &x,Tp &...y){read(x);read(y...);}
template<typename Tp> inline void wt(Tp x){if(x>9)wt(x/10);putchar_unlocked((x%10)+'0');}
template<typename Tp> inline void write(Tp x){if(x<0)putchar_unlocked('-'),x=~x+1;wt(x);}
template<typename T,typename ...Tp> inline void write(T x,Tp ...y){write(x);putchar_unlocked(' ');write(y...);}
int n,rt,a[N],d[N],f[N]; vector<int>e[N];
bool dfs(int x,int t)
{
	if(d[x]==1) return f[x]=a[x],1;
	int mx=0,sum=0;
	for(int y:e[x]) if(y!=t) 
	{
		if(!dfs(y,x)) return 0;
		sum+=f[y],mx=max(mx,f[y]);
	}
	int y=sum-a[x]; f[x]=sum-(y<<1);
	return (f[x]<=a[x]&&min(sum>>1,sum-mx)>=y&&!f[rt]);
}
signed main()
{
	freopen("tree.in","r",stdin),freopen("tree.out","w",stdout);
	read(n); for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
	if(n==2) puts(a[1]==a[2]?"YES":"NO"),exit(0);
	for(int i=1,x,y;i<n;i++) read(x,y),d[x]++,d[y]++,e[x].pb(y),e[y].pb(x);
	for(int i=1;i<=n;i++) if(d[i]!=1) {rt=i; break;}
	puts(dfs(rt,0)?"YES":"NO");
}

T3

• 部分分 \(50pts\)：\(O(2^n)\) 爆搜加 \(O(n^2v)\) 背包，\(v\) 是 \(a\) 的值域。

• 正解：

  若存在 \(k\le a_i\le 2k\)，等价于 \(\lceil\frac{a_i}{2}\rceil\le k\le a_i\)，那么 \(k\) 对应了一个区间 \([\lceil\frac{a_i}{2}\rceil,a_i]\)。

  若再加入一个 \(a_j\le a_i\)，那么有 \(k\) 对应区间 \([\lceil\frac{a_i+a_j}{2}\rceil,a_i+a_j]\)，显然好有 \(\lceil\frac{a_i}{2}\rceil\le \lceil\frac{a_i+a_j}{2}\rceil\le a_i\le a_i+a_j\)，不难发现 \([\lceil\frac{a_i}{2}\rceil,a_i]\) 和 \([\lceil\frac{a_i+a_j}{2}\rceil,a_i+a_j]\) 必定存在交际，那么两者取并就是 \(k\) 的最终范围 \([\lceil\frac{a_i}{2}\rceil,a_i+a_j]\)。

  再将其扩展到 \(n\) 个数，再做前缀和处理，会得到 \(n\) 个左右端点均单调的区间，取并即可。

  点击查看代码

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ll long long 
  #define endl '\n'
  #define sort stable_sort
  #define fi first
  #define se second
  #define mkp make_pair
  using namespace std;
  const int N=1e5+10;
  template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
  {
  	x=0;register bool z=true;
  	register char c=getchar_unlocked();
  	for(;!isdigit(c);c=getchar_unlocked()) if(c=='-') z=0;
  	for(;isdigit(c);c=getchar_unlocked()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
  	x=(z?x:~x+1);
  }
  template<typename T,typename ...Tp> inline void read(T &x,Tp &...y){read(x);read(y...);}
  template<typename Tp> inline void wt(Tp x){if(x>9)wt(x/10);putchar_unlocked((x%10)+'0');}
  template<typename Tp> inline void write(Tp x){if(x<0)putchar_unlocked('-'),x=~x+1;wt(x);}
  template<typename T,typename ...Tp> inline void write(T x,Tp ...y){write(x);putchar_unlocked(' ');write(y...);}
  int n,a[N]; ll ans,now,sum[N]; pair<int,ll>pos[N];
  signed main()
  {
  	freopen("buy.in","r",stdin),freopen("buy.out","w",stdout);
  	read(n); for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
  	sort(a+1,a+1+n); for(int i=i;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i];
  	for(int i=1;i<=n;i++) pos[i]=mkp(a[i]+1>>1,sum[i]);
  	for(int i=1;i<=n;i++)
  		ans+=pos[i].se-max(now,1ll*pos[i].fi)+1,now=pos[i].se+1;
  	write(ans);
  }
  

T4

• 部分分 \(50pts\)：普通莫队加线段树维护，\(O(n\sqrt n\log(n))\)，常数巨大过不去。

• 正解：

  回滚莫队板子，套链表为 \(O(n\sqrt n)\)，套正常可撤销并查集为常数小的 \(O(n\sqrt n\log(n))\)。

  点击查看代码

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ll long long 
  #define endl '\n'
  #define sort stable_sort
  using namespace std;
  const int N=1e5+10;
  template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
  {
  	x=0;register bool z=true;
  	register char c=getchar_unlocked();
  	for(;!isdigit(c);c=getchar_unlocked()) if(c=='-') z=0;
  	for(;isdigit(c);c=getchar_unlocked()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
  	x=(z?x:~x+1);
  }
  template<typename T,typename ...Tp> inline void read(T &x,Tp &...y){read(x);read(y...);}
  template<typename Tp> inline void wt(Tp x){if(x>9)wt(x/10);putchar_unlocked((x%10)+'0');}
  template<typename Tp> inline void write(Tp x){if(x<0)putchar_unlocked('-'),x=~x+1;wt(x);}
  template<typename T,typename ...Tp> inline void write(T x,Tp ...y){write(x);putchar_unlocked(' ');write(y...);}
  int n,m,t,res,a[N],b[N],pos[N],len[N],ans[N]; stack<pair<int,int> >sl,sr;
  struct aa {int id,l,r;}e[N];
  void add(int x,stack<pair<int,int> >&s)
  {
  	int pre=len[x-1],suf=len[x+1];
  	s.emplace(x-pre,len[x-pre]),s.emplace(x+suf,len[x+suf]);
  	res=max(res,len[x-pre]=len[x+suf]=pre+suf+1);
  }
  void clear(stack<pair<int,int> >&s) 
  {while(!s.empty()) len[s.top().first]=s.top().second,s.pop();}
  signed main()
  {
  	freopen("ants.in","r",stdin),freopen("ants.out","w",stdout);
  	read(n,m),t=sqrt(n);
  	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),pos[i]=(i-1)/t+1;
  	for(int i=1,l,r;i<=m;i++)
  	{
  		read(l,r),e[i]={i,l,r};
  		if(pos[l]==pos[r])
  		{
  			for(int i=l;i<=r;i++) add(a[i],sl);
  			ans[i]=res,res=0,clear(sl);
  		}
  	}
  	sort(e+1,e+1+m,[](aa a,aa b){return pos[a.l]==pos[b.l]?a.r<b.r:a.l<b.l;});
  	for(int i=1,j=1,l,r;j<=pos[n];j++)
  	{
  		int bl=min(n+1,j*t+1); r=(l=bl)-1,res=0,clear(sr);
  		for(;pos[e[i].l]==j;i++) if(pos[e[i].l]!=pos[e[i].r])
  		{
  			while(r<e[i].r) add(a[++r],sr);
  			int old=res;
  			while(l>e[i].l) add(a[--l],sl);
  			ans[e[i].id]=res,res=old,l=bl,clear(sl);
  		}
  	}
  	for(int i=1;i<=m;i++) write(ans[i]),puts("");
  }