2024暑假集训测试28

前言

• 比赛链接。

上午要输液所以没有打，就下午改一改，应该明天就能回去了。

T1 与和

• 原题：[ABC238D] AND and SUM。

$x\mathrm{\&}y=a$，说明 $x,y$ 二进制中都包含 $a$ 且其余位上均不重合，故此若 $(s-2a)\mathrm{\&}a=0$ 即符合，特殊的，因为 $x\mathrm{\&}y=a\le min(x,y)$，所以 $x+y=s\ge 2a$，需要特判。

T2 函数

• 原题：[ABC366F] Maximum Composition。

对于 $f_1(f_2(x))\ge f_2(f_1(x))$，有 $a_1{a}_{2}x+a_1{b}_2+b_1\ge a_2{a}_{1}x+a_2{b}_1+b_2$，移项有 ${\displaystyle \frac{b_1}{a_1-1}}\le {\displaystyle \frac{b_2}{a_2-1}}$，故此将 ${\displaystyle \frac{b_i}{a_i-1}}$ 作为关键字降序排序即可作为决策顺序。

之后直接 DP 转移即可，设 $f_{i,j}$ 位前 $i$ 个数中选择了 $j$ 个时的最大值，有：

$$f_{i,j}=max(f_{i-1,j},f_{i-1,j-1}\times a_i+b_i)$$

第一维可以滚掉。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define endl '\n'
#define sort stable_sort
using namespace std;
const int N=2e5+10;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
	x=0;register bool z=true;
	register char c=getchar();
	for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
	for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	x=(z?x:~x+1);
}
template<typename T,typename ...Tp> inline void read(T &x,Tp &...y){read(x);read(y...);}
template<typename Tp> inline void wt(Tp x)
{if(x>9)wt(x/10);putchar((x%10)+'0');}
template<typename Tp> inline void write(Tp x)
{if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;wt(x);}
template<typename T,typename ...Tp> inline void write(T x,Tp ...y){write(x);putchar(' ');write(y...);}
int n,k;
ll f[11];
struct aa {int a,b;}e[N];
bool cmp(aa a,aa b) {return a.b*(b.a-1)>b.b*(a.a-1);}
signed main()
{
	read(n,k);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(e[i].a,e[i].b);
	sort(e+1,e+1+n,cmp);
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=min(i,k);j>=1;j--) 
			f[j]=max(f[j],f[j-1]*e[i].a+e[i].b);
	write(f[k]);
}

T3 袋鼠

• 原题：P5999 [CEOI2016] kangaroo。

和某次的 DP 搬运工是同一种题型，预设型 DP。

原问题可以转化为 $1\sim n$ 的全排中能够满足对于任意 $a_i$ 满足 $a_{i-1}<a_1,a_i>a_{i+1}$ 或 $a_{i-1}>a_i,a_i<a_{i+1}$ 的有多少。

那么考虑预设型 DP，从小到大插数，设 $f_{i,j}$ 为前 $i$ 个数分成了 $j$ 段，那么有：

• $i\ne s$ 且 $i\ne t$：

  • $i$ 新开了一段，因为后面插入的数能接到他两边的一定都比他大，所以一定合法，加入前共有 $j-1$ 段所以有 $j$ 个位置可以放但是若 $i>s$ 就不能放开头了，同理 $i>t$ 就不能放结尾了，故有：

    $$f_{i,j}+=(j-[i>s]-[i>t])\times f_{i-1,j-1}$$

  • $i$ 接在一段的开头或结尾且并不使两段接壤，因为此时与他相邻的数一定小于他，而后面再加入的与其相邻的数一定大于他，故一定不合法。

  • $i$ 使两段接壤，因为此时与其相邻的两个数一定都小于他，所以一定合法，在进行这一步前有 $j+1$ 个段产生 $j$ 个间隙，故此有：

    $$f_{i,j}+=j\times f_{i-1,j+1}$$

• $i=s$ 或 $i=t$：

  此时他是一定接在开头或结尾的，故最终只有一个数与其相邻，因为之前加入的数都比他小，所以一定合法，同时不存在使两段接壤的情况，只需要考虑新开一段和接在原来段的开头或结尾即可，其所填位置唯一，故有：

  $$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+f_{i-1,j}$$

最终一定只有一段，故答案为 $f_{n,1}$，第一维可以滚掉，那么类似的之前做的 P2467 [SDOI2010] 地精部落 这题也可以用预设型 DP 直接做了，DP 多开两维表示当前首尾选没选就行了。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define endl '\n'
#define sort stable_sort
using namespace std;
const int N=2e3+10,P=1e9+7;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
	x=0;register bool z=true;
	register char c=getchar();
	for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
	for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	x=(z?x:~x+1);
}
template<typename T,typename ...Tp> inline void read(T &x,Tp &...y){read(x);read(y...);}
template<typename Tp> inline void wt(Tp x)
{if(x>9)wt(x/10);putchar((x%10)+'0');}
template<typename Tp> inline void write(Tp x)
{if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;wt(x);}
template<typename T,typename ...Tp> inline void write(T x,Tp ...y){write(x);putchar(' ');write(y...);}
int n,s,t,f[2][N];
signed main()
{
	read(n,s,t);
	f[1][1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
		{
			if(i!=s&&i!=t) f[i&1][j]=(1ll*f[(i-1)&1][j-1]*(j-(i>s)-(i>t))%P+1ll*f[(i-1)&1][j+1]*j%P)%P;
			else f[i&1][j]=f[(i-1)&1][j-1]+f[(i-1)&1][j];
		}
	write(f[n&1][1]);
}

T4 最短路

• 原题：CF464E The Classic Problem。

还没有打。