「BSGS」学习笔记

合集 - 学习笔记(19)

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BSGS

拔山盖世、北上广深……

实际上叫大步小步，用于解决高次同余方程，形如：

$$a^x\equiv b(\mathrm{mod}p)$$

求 $x$。

设 $x=i\times t-j$，有：

$$a^{i\times t-j}\equiv b(\mathrm{mod}p)$$

$$a^{i\times t}\equiv b\times a^j(\mathrm{mod}p)$$

预处理每个 $j$，枚举 $i$ 处理，$t$ 取 $\sqrt{n}$ 最优，复杂度为 $O(\sqrt{n})$。

点击查看代码

ll BSGS(ll a,ll b,ll P)
{
    if(1%p==b%p) return 0;//特判。
    unordered_map<int,int>vis;
    b%=P;
    ll t=sqrt(P)+1,sum=b;
    for(int i=0;i<=t-1;i++) 
    {
        vis[sum]=i;
        (sum*=a)%=P;
    }
    a=qpow(a,t,P);
    if(!a) return b==0?1:-1;
    sum=1;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        (sum*=a)%=P;
        if(vis.find(sum)!=vis.end()&&i*t-vis[sum]>=0)
            return i*t-vis[sum];
    }
    return -1;
}

例题

P3846 [TJOI2007] 可爱的质数/【模板】BSGS

板子。

P4884 多少个 1？

$\sum _{i=0}^{n-1}{10}^i\equiv b(\mathrm{mod}p)$ 等价于 ${10}^n\equiv b\times 9+1(\mathrm{mod}P)$。

P4454 [CQOI2018] 破解D-H协议。

原根的性质是为了表示 $a,p$ 互质的，之后直接跑 BSGS 即可。

P3306 [SDOI2013] 随机数生成器

• 多倍经验：[ABC270G] Sequence in mod P。

当 $a=0$ 的时候直接判掉就好了。

先忽略模数，若 $a\ne 1$，推式子有：

$$\begin{array}{rl}{x}_n& =a{x}_{n-1}+b\\ & =a^2{x}_{n-2}+(a+1)b\\ & =a^{n-1}{x}_1+(a^{n-2}+a^{n-1}+\dots +a_0)b\end{array}$$

右面是一个等比数列，套求和公式 $s_n={\displaystyle \frac{x_1(a^n-1)}{a-1}}$。

$$\begin{array}{rl}{x}_n& =a^{n-1}{x}_1+{\displaystyle \frac{b(a^{n-1}-1)}{a-1}}\\ & =a^{n-1}(x_1+{\displaystyle \frac{b}{a-1}})-{\displaystyle \frac{b}{a-1}}\end{array}$$

故此有 $a^{n-1}(x_1+{\displaystyle \frac{b}{a-1}})\equiv x_n+{\displaystyle \frac{b}{a-1}}(\mathrm{mod}p)$

需满足 $a,p$ 互质，发现 $p$ 为质数，$gcd(a,p)$ 只可能等于 $1$ 或 $p$，若等于 $1$ 不用管，等于 $p$ 显然无解了，然后跑 $BSGS$ 即可。

$a=1$ 的特殊处理即可。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define endl '\n'
#define sort stable_sort
using namespace std;
const int N=2e5+10;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
    x=0;register bool z=true;
    register char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
    for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    x=(z?x:~x+1);
}
template<typename Tp> inline void wt(Tp x)
{if(x>9)wt(x/10);putchar((x%10)+'0');}
template<typename Tp> inline void write(Tp x)
{if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;wt(x);}
ll T,p,a,b,x,t;
ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
ll qpow(ll a,ll b,ll P)
{
    ll ans=1;
    for(;b;b>>=1)
    {
        if(b&1) (ans*=a)%=P;
        (a*=a)%=P;
    }
    return ans;
}
ll BSGS(ll a,ll b,ll P)
{
    if(1%P==b%P) return 0;
    unordered_map<ll,ll>vis;
    b%=P;
    ll t=sqrtl(P)+1,sum=b;
    for(int i=0;i<=t-1;i++)
    {
        vis[sum]=i;
        (sum*=a)%=P;
    }
    a=qpow(a,t,P);
    if(!a) return b==0?1:-1;
    sum=1;
    for(int i=0;i<=t;i++)
    {
        if(vis.find(sum)!=vis.end()&&i*t-vis[sum]>=0)
            return i*t-vis[sum];
        (sum*=a)%=P;
    }
    return -1;
}
signed main()
{
    read(T);
    while(T--)
    {
        read(p),read(a),read(b),read(x),read(t);
        if(x==t) {puts("1"); continue;}
        if(a==0)
        {
            if(t==b) puts("2");
            else puts("-1");
        }
        else if(a==1)
        {
            ll g=gcd(b,p);
            if(g==p) puts("-1");
            else
            {
                ll ans=((t-x+p)%p)*qpow(b,p-2,p)%p;
                write(ans+1),puts("");
            } 
        }
        else 
        {
            ll c=b*qpow(a-1,p-2,p)%p;
            ll g=gcd(x+c,p);
            if(g==p) puts("-1");
            else 
            {
                ll ans=BSGS(a,(t+c)%p*qpow(x+c,p-2,p)%p,p);
                write(ans==-1?-1:ans+1),puts("");
            }
        }
    }
}

BZOJ4128 Matrix

矩阵乘法 + BSGS。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define endl '\n'
#define sort stable_sort
using namespace std;
const int N=75;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
    x=0;register bool z=true;
    register char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
    for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    x=(z?x:~x+1);
}
template<typename Tp> inline void wt(Tp x)
{if(x>9)wt(x/10);putchar((x%10)+'0');}
template<typename Tp> inline void write(Tp x)
{if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;wt(x);}
ll n,P,a[N][N],b[N][N];
struct aa 
{
    ll x[N][N];
    aa() {memset(x,0,sizeof(x));}
    bool operator < (aa another) const
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                if(x[i][j]<another.x[i][j]) return 1;
                if(x[i][j]>another.x[i][j]) return 0;
            }
        return 0;
    }
};
aa mul(aa a,aa b,ll P)
{
    aa c;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                (c.x[i][j]+=(a.x[i][k]*b.x[k][j])%P)%=P;
    return c;
}
aa qpow(aa a,ll b,ll P)
{
    aa ans;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans.x[i][i]=1;
    for(;b;b>>=1)
    {
        if(b&1) ans=mul(ans,a,P);
        a=mul(a,a,P);
    }
    return ans;
}
ll BSGS(aa a,aa b,ll P)
{
    map<aa,ll>vis;
    ll t=sqrt(P)+1;
    for(int i=0;i<=t-1;i++)
    {
        vis[b]=i;
        b=mul(b,a,P);
    }
    a=qpow(a,t,P);
    aa sum;
    for(int i=1;i<=n;i++) sum.x[i][i]=1;
    for(int i=0;i<=t;i++)
    {
        if(vis.find(sum)!=vis.end()&&i*t-vis[sum]>=0)
            return i*t-vis[sum];
        sum=mul(sum,a,P);
    }
    return -1;
}
signed main()
{
    read(n),read(P);
    aa a,b;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            read(a.x[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            read(b.x[i][j]);
    write(BSGS(a,b,P));
}

exBSGS

当 $a,p$ 不互质的时候，可以不断除去 $gcd(a,p)$，直至其互质，依据 $a\equiv b(\mathrm{mod}p)$ 等价于 ${\displaystyle \frac{a}{d}}\equiv {\displaystyle \frac{b}{d}}(\mathrm{mod}{\displaystyle \frac{p}{d}})$。

设 $d_i$ 表示直至 $a,p$ 互质前第 $i$ 个 $gcd(a,p)$，总共进行 $t$ 次，最后有：

$$a^{x-t}\times {\displaystyle \frac{a^t}{\prod _{i=1}^t{d}_i}}\equiv {\displaystyle \frac{b}{\prod _{i=1}^t{d}_i}}(\mathrm{mod}{\displaystyle \frac{p}{\prod _{i=1}^t{d}_i}})$$

之后直接跑 BSGS 即可，中间过程中一旦出现 $b$ 无法被 $d_i$ 整除则无解。

发现最后 $p$ 不一定为质数，所以用 exgcd 求逆元。

点击查看代码

ll BSGS(ll a,ll b,ll P)
{
    if(1%P==b%P) return 0;
    unordered_map<ll,ll>vis;
    b%=P;
    ll t=sqrt(P)+1,sum=b;
    for(int i=0;i<=t-1;i++) 
    {
        vis[sum]=i;
        (sum*=a)%=P;
    }
    a=qpow(a,t,P);
    if(!a) return b==0?1:-1;
    sum=1;
    for(int i=0;i<=t;i++)
    {
        if(vis.find(sum)!=vis.end()&&i*t-vis[sum]>=0)
            return i*t-vis[sum];
        (sum*=a)%=P;
    }
    return -1;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0) {x=1,y=0; return a;}
    ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
ll inv(ll a,ll P)
{
    ll x,y;
    exgcd(a,P,x,y);
    x=(x%P+P)%P;
    return x;
}
ll exBSGS(ll a,ll b,ll P)
{
    if(b==1||P==1) return 0;
    ll d=gcd(a,P),k=0,mul=1;
    while(d!=1)
    {
        if(b%d!=0) return -1;
        k++;
        b/=d,P/=d;
        mul=mul*(a/d)%P;
        if(mul==b) return k;
        d=gcd(a,P);
    }
    ll ans=BSGS(a,b*inv(mul,P)%P,P);
    if(ans==-1) return -1;
    return ans+k;
}

例题

P4195 【模板】扩展 BSGS/exBSGS

板子。