2024暑假集训测试7

前言

• 比赛链接。

终于不挂分了这次，但是 T2 写得太慢了导致 T4 没写完只能胡暴力。

但是赛时数据和样例出了好多问题给不少人造成了影响。

T1 abc猜想

\(ans=\lfloor\dfrac{a^b}{c}\rfloor \bmod c=\dfrac{a^b-a^b\bmod c}{c}\bmod c\)

不妨设 \(\dfrac{a^b-a^b\bmod c}{c}=kc+ans\)，有 \(a^b-a^b\bmod c=kc^2+ans·c\)。

所以有 \(ans=\dfrac{(a^b-a^b\bmod c)\bmod c^2}{c}\)。

T2 简单的排列最优化题

枚举 \(k\)，思考从 \(k\) 转移到 \(k+1\) 会有什么影响。

对于在目标左边的点，向右移贡献减一，反之已经在目标上或在其右边的贡献均加一，且距离目标的距离向右移一位，这个移位不好处理，不妨将 \(0\) 这个端点左移，达到向右移位的效果，\(a_{n-k}\) 特殊处理，从 \(n\) 移到 \(1\) 即可，开几个变量可以做到 \(O(1)\) 修改。

复杂度 \(O(n)\)。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
#define endl '\n'
#define sort stable_sort
using namespace std;
const int N=8e6+10;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
    x=0;register bool z=true;
    register char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
    for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    x=(z?x:~x+1);
}
void wt(int x){if(x>9)wt(x/10);putchar((x%10)+'0');}
void write(int x){if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;wt(x);}
int n,a[N],cnt[N],now,sum,ans,ans2,l,r;
signed main()
{
    read(n); now=2*n;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        read(a[i]);
        cnt[i-a[i]+2*n]++;
        sum+=abs(a[i]-i);
    }
    for(int i=n;i<=2*n-1;i++)
        l+=cnt[i];
    for(int i=2*n;i<=4*n;i++)
        r+=cnt[i];
    ans=sum,ans2=0;
    for(int i=0;i<=n-2;i++)
    {
        sum=sum+r-1-l-n+2*a[n-i]-1;
        r+=cnt[now-1];cnt[n-a[n-i]+now]--;r--;
        l-=cnt[now-1];cnt[1-a[n-i]-1+now]++;
        if(a[n-i]==1) r++;
        else l++;
        now--;
        if(sum<ans) ans=sum,ans2=i+1;
    }
    cout<<ans2<<' '<<ans;
}

T3 简单的线性做法题

分治。

• 结论 \(1\)：若 \(x\) 为 \([l,r]\) 的绝对众数，则其一定是 \([l,k]\) 或 \([k+1,r]\) 的绝对众数。
• 结论 \(2\)：一个区间能成为绝对众数的个数不超过 \(log\)。

证明显然。

对于 \([l,r]\)，取 \(mid\) 为分割点，处理所有经过 \(mid\) 的合法的子区间，对 \([l,mid],[mid+1,r]\) 递归处理。

类似于处理中位数的做法，我们知道 \(x\) 为区间绝对众数当且仅当 \(cnt_x>\lfloor\dfrac{size}{2}\rfloor\)，转化有 \(2cnt_x-size>0\)，枚举众数 \(x\)，若 \(a_i=x\) 则 \(sum+1\)，否则 \(sum-1\)，\(sum\) 即表示 \(2cnt_x-size\)。

可以 \(O(size)\) 通过结论处理出可能成为众数的 \(a_i\)，对于区间 \([l,mid-1]\) 从左往右扫出 \(sum\) 进行前缀和处理，开桶统计每个 \(sum\) 的个数，继续向右扫，对于区间 \([mid+1,r]\)，则此时桶内值小于当前 \(sum\) 均可以产生贡献，即前缀和操作使对应区间 \(2cnt_x-size>0\)，使其合法。

对于 \(l=r\) 显然合法。

复杂度 \(O(n\log^2(n))\)。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define endl '\n'
#define sort stable_sort
using namespace std;
const int N=1e6+10;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
    x=0;register bool z=true;
    register char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
    for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    x=(z?x:~x+1);
}
template<typename Tp> inline void wt(Tp x)
{if(x>9)wt(x/10);putchar((x%10)+'0');}
template<typename Tp> inline void write(Tp x)
{if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;wt(x);}
ll n,a[N],ans,cnt[N];
bool vis[N];
vector<ll>pos;
void solve(int l,int r)
{
    if(l==r) {ans++; return ;}
    ll mid=(l+r)>>1,sum,minn,maxx;
    solve(l,mid),solve(mid+1,r);
    for(int i=mid;i>=l;i--)
    {
        cnt[a[i]]++;
        if(cnt[a[i]]>((mid-i+1)>>1)&&vis[a[i]]==0)
        {
            vis[a[i]]=1;
            pos.push_back(a[i]);
        }
    }
    for(int i=l;i<=mid;i++) cnt[a[i]]=0;
    for(int i=mid+1;i<=r;i++)
    {
        cnt[a[i]]++;
        if(cnt[a[i]]>((i-mid)>>1)&&vis[a[i]]==0)
        {
            vis[a[i]]=1;
            pos.push_back(a[i]);
        }
    }
    for(int i=l;i<=r;i++) cnt[a[i]]=vis[a[i]]=0;
    for(int x:pos)
    {
        sum=minn=maxx=r-l+1;
        cnt[sum]++;
        for(int i=l;i<=mid-1;i++)
        {
            sum+=(a[i]==x)?1:-1;
            minn=min(minn,sum);
            maxx=max(maxx,sum);
            cnt[sum]++;
        }
        sum+=(a[mid]==x)?1:-1;
        for(int i=minn+1;i<=maxx;i++) cnt[i]+=cnt[i-1];
        for(int i=mid+1;i<=r;i++)
        {
            sum+=(a[i]==x)?1:-1;
            ans+=cnt[min(maxx,sum-1)];
        }
        for(int i=minn;i<=maxx;i++) cnt[i]=0;
    }
    pos.clear();
}
signed main()
{
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
    solve(1,n);
    write(ans);
}

T4 简单的线段树题

• 部分分 \(60pts\)：直接 \(n^2\) 暴力。

• 正解：

  考虑 \(10^{11}\) 最多被开方 \(6\) 次，在势能线段树上对于每个区间处理出区间和与区间最大值，若最大值 \(=1\) 就不需要再递归下去了，修改直接单点暴力改，每个数最多改 \(6\) 遍，所以复杂度是正确的。

  点击查看代码

  #include<bits/stdc++.h>
  #define int long long 
  #define endl '\n'
  #define sort stable_sort
  #define f t[p]
  #define ls p<<1
  #define rs p<<1|1
  using namespace std;
  const int N=1e6+10;
  template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
  {
      x=0;register bool z=true;
      register char c=getchar();
      for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
      for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
      x=(z?x:~x+1);
  }
  void wt(int x){if(x>9)wt(x/10);putchar((x%10)+'0');}
  void write(int x){if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;wt(x);}
  int n,m,a[N],sum[N],pos[N];
  struct aa {int l,r,val,add,flag;}t[N<<2];
  void pushup(int p)
  {
      f.val=t[ls].val+t[rs].val;
      f.flag=max(t[ls].flag,t[rs].flag);
  }
  void build(int p,int l,int r)
  {
      f.l=l,f.r=r;
      if(l==r) 
      {
          pos[l]=p;
          f.val=f.flag=a[l];
          return ;
      }
      int mid=(l+r)>>1;
      build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
      pushup(p);
  }
  void change(int p,int l,int r)
  {
      if(f.l==f.r)
      {
          f.flag=floor(sqrt(f.flag)),f.val=f.flag;
          return ;
      }
      if(f.flag<=1) return ;
      int mid=(f.l+f.r)>>1;
      if(l<=mid) change(ls,l,r);
      if(r>mid) change(rs,l,r);
      pushup(p);
  }
  int ask(int p,int l,int r)
  {
      if(l<=f.l&&r>=f.r) return f.val;
      int mid=(f.l+f.r)>>1,ans=0;
      if(l<=mid) ans+=ask(ls,l,r);
      if(r>mid) ans+=ask(rs,l,r); 
      return ans;
  }
  signed main()
  {
      read(n);
      for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
      build(1,1,n);
      read(m);
      for(int i=1,op,l,r;i<=m;i++)
      {
          read(op),read(l),read(r);
          if(l>r) swap(l,r);
          if(op==0) change(1,l,r);
          else write(ask(1,l,r)),puts("");
      }
  }
  

总结

提高速度。