「Tire树」学习笔记

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定义与基本求法

• 定义

  又称字典树，用边表示字母，从根节点到树上某一节点路径形成一个字符串。

  例如 $charlie:$

  

• 基本求法

  廷显然的，往树中存就行了，查询也是显然的，通过一道例题来理解吧：

  • 于是他错误的点名开始了

  #include<bits/stdc++.h>
  #define int long long 
  #define endl '\n'
  using namespace std;
  const int N=5e5+10,P=1e9+7;
  template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
  {
      x=0;register bool z=1;
      register char c=getchar();
      for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
      for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
      x=(z?x:~x+1);
  }
  char s[N];
  int n,m,t[N][30],v[N],tot=1;
  void Tire(char s[])
  {
      int r=1,l=strlen(s+1);
      for(int i=1;i<=l;i++)
      {
          int c=s[i]-'a';
          if(!t[r][c]) t[r][c]=++tot;
          r=t[r][c];
      }
      v[r]=1;
  }
  void ask(char s[])
  {
      int r=1,l=strlen(s+1);
      for(int i=1;i<=l;i++)
      {
          int c=s[i]-'a';
          r=t[r][c];
          if(!r) break;
      }
      if(v[r]==1)
      {
          cout<<"OK"<<endl;
          v[r]=2;
      }
      else if(v[r]==2)
          cout<<"REPEAT"<<endl;
      else cout<<"WRONG"<<endl;
  }
  signed main()
  {
      #ifndef ONLINE_JUDGE
      freopen("in.txt","r",stdin);
      freopen("out.txt","w",stdout);
      #endif
      read(n);
      for(int i=1;i<=n;i++)
          cin>>s+1,
          Tire(s);
      read(m);
      for(int i=1;i<=m;i++)
          cin>>s+1,
          ask(s);
  }

  $t$ 数组存的现节点是编号，第一维存的是根节点编号，第二维是边权。

  查询时，遇到该字符对应编号为 $0$ ，说明这个字符串不存在与字典树中。

例题

• Phone List

• 题面：

  给定 $n$ 个字符串，判断是否存在两个字符串 $s,t$ ，使 $s$ 是 $t$ 的前缀。

• 解法：

  多测，$n^2$ 匹配—— $Hash\times$

  将每一组存到字典树中，同时查询是否有前缀等于之前的串即可。

  可以定义一个新的数组 $f_p$ 用于判断,判断字符串 $s$ 时，只要出现 $f_p=1$ 就说明有字符串与其匹配了，当然，存的时候，存完另 $f_p=1$ 。

  结合代码理解。

• 代码如下：

  #include<bits/stdc++.h>
  #define int unsigned long long 
  #define endl '\n'
  using namespace std;
  const int N=1e6+10,P=1e9+7;
  template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
  {
      x=0;register bool z=1;
      register char c=getchar();
      for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
      for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
      x=(z?x:~x+1);
  }
  int T,n,t[N][20],tot=1;
  char s[N];
  bool f[N];
  void Tire(char s[])
  {
      int p=1,l=strlen(s+1);
      for(int i=1;i<=l;i++)
      {
          int c=s[i]-'0';
          if(!t[p][c]) t[p][c]=++tot;
          p=t[p][c];
      }
      f[p]=1;
  }
  bool find(char s[])
  {
      int p=1,l=strlen(s+1);
      for(int i=1;i<=l;i++)
      {
          int c=s[i]-'0';
          if(!t[p][c]) return 0;
          p=t[p][c];
          if(f[p]) return 1;
      }
      return 1;
  }
  signed main()
  {
      #ifndef ONLINE_JUDGE
      freopen("in.txt","r",stdin);
      freopen("out.txt","w",stdout);
      #endif
      read(T);
      while(T--)
      {
          memset(f,0,sizeof(f));
          memset(t,0,sizeof(t));
          tot=1;
          bool ans=0;
          read(n);
          for(int i=1;i<=n;i++)
          {
              cin>>s+1;
              if(find(s)) ans=1;
              Tire(s);
          }
          if(!ans) cout<<"YES"<<endl;
          else cout<<"NO"<<endl;
      }
  }

$01Tire$

定义与基本求法：

• 定义

  字符集只有 $0||1$ 的 $Tire$ 数，主要用来解决有关异或值的问题。

• 基本求法：

  异或有着安慰考虑的性质，每一位贡献是分开的，这与 $Tire$ 树用不同深度存不同位定性质是吻合的。

  如果要最大化异或值，一定先最大化其最高位，如果用 $Tire$ 树从高到低来做，正好吻合了这个贪心思想。

  根据例题来理解吧。

例题

$TheXORLargestPair$

• 题目链接

• 题面：

  给定 $n$ 个整数 $a_i\sim a_n$ ，在其中选出两个进行异或运算，求可以得到的最大结果。

• 解法：

  $n$ 足够大，暴力不要想。

  将这 $n$ 个数转换成二进制，存到 $Tire$ 树里。

  再取这 $n$ 个树，在 $Tire$ 上跑一边，尽可能的向与其二进制位不同的方向。

  此处体现了贪心的思想，因为二进制下 $1aaaa>0bbbb$ 始终成立，高位优一定全局优。

• 代码如下：

  #include<bits/stdc++.h>
  #define int long long 
  #define endl '\n'
  using namespace std;
  const int N=3e6+10,P=1e9+7;
  template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
  {
      x=0;register bool z=1;
      register char c=getchar();
      for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
      for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
      x=(z?x:~x+1);
  }
  int n,a[N],tot,t[N][2],ans;
  void Tire(int x)
  {
      int p=0;
      for(int i=31;i>=0;i--)
      {
          int l=(x>>i)&1;
          if(!t[p][l]) t[p][l]=++tot;
          p=t[p][l];
      }
  }
  int find(int x)
  {
      int p=0,sum=0;
      for(int i=31;i>=0;i--)
      {
          int l=(x>>i)&1;
          if(t[p][l^1])
              p=t[p][l^1],
              sum=sum<<1|1;//二进制运算
          else 
              p=t[p][l],sum=sum<<1;//同上
      }
      return sum;
  }
  signed main()
  {
      #ifndef ONLINE_JUDGE
      freopen("in.txt","r",stdin);
      freopen("out.txt","w",stdout);
      #endif
      read(n);
      for(int i=1;i<=n;i++)
          read(a[i]),
          Tire(a[i]);
      for(int i=1;i<=n;i++)
          ans=max(ans,find(a[i]));
      cout<<ans;
  }

  位运算方向注意不要写反了。

$TheXOR-longestPath$

• 题目链接

• 题面：

  给定一棵 $n$ 个节点的带权树，求书上最长的异或和路径。

• 解法：

  首先了解异或的一个重要性质——自反性：

  $x\oplus x=0$

  所以一个元素，若对其进行了重复偶数次的重复，则视作没有异或。

  ∴ $path(x,y)=path(x,lca)\oplus path(lca,y)=path(x,root)\oplus path(root,y)$

  故此求出每个点到根节点的异或和 $d_i$ ，将 $d_i$ 存到 $Tire$ 中，问题就转化为了上一道题。

  至于如何求每个节点到根节点的异或和，可以用 $dfs$ 解决。

总结

对于 $Tire$ 树此处涉及并不多，也还没有讲，上网上自己找的。

直接使用 $Tire$ 树的问题还是相对容易的，也很好理解，$01Tire$ 也是直接使用 $Tire$ 的一个应用了，虽然只能解决异或问题。

而此处对其进行整理主要为了为后面的 $AC$ 自动机等知识点做准备。

由此看，$Tire$ 树还是很重要的，要牢牢掌握。