Tire树 学习笔记
定义与基本求法
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定义
又称字典树，用边表示字母，从根节点到树上某一节点路径形成一个字符串。
例如 \(charlie:\)
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基本求法
廷显然的，往树中存就行了，查询也是显然的，通过一道例题来理解吧：
#include<bits/stdc++.h> #define int long long #define endl '\n' using namespace std; const int N=5e5+10,P=1e9+7; template<typename Tp> inline void read(Tp&x) { x=0;register bool z=1; register char c=getchar(); for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0; for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48); x=(z?x:~x+1); } char s[N]; int n,m,t[N][30],v[N],tot=1; void Tire(char s[]) { int r=1,l=strlen(s+1); for(int i=1;i<=l;i++) { int c=s[i]-'a'; if(!t[r][c]) t[r][c]=++tot; r=t[r][c]; } v[r]=1; } void ask(char s[]) { int r=1,l=strlen(s+1); for(int i=1;i<=l;i++) { int c=s[i]-'a'; r=t[r][c]; if(!r) break; } if(v[r]==1) { cout<<"OK"<<endl; v[r]=2; } else if(v[r]==2) cout<<"REPEAT"<<endl; else cout<<"WRONG"<<endl; } signed main() { #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("in.txt","r",stdin); freopen("out.txt","w",stdout); #endif read(n); for(int i=1;i<=n;i++) cin>>s+1, Tire(s); read(m); for(int i=1;i<=m;i++) cin>>s+1, ask(s); }\(t\) 数组存的现节点是编号，第一维存的是根节点编号，第二维是边权。
查询时，遇到该字符对应编号为 \(0\) ，说明这个字符串不存在与字典树中。
例题
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题面：
给定 \(n\) 个字符串，判断是否存在两个字符串 \(s,t\) ，使 \(s\) 是 \(t\) 的前缀。
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解法：
多测，\(n^2\) 匹配—— \(Hash×\)
将每一组存到字典树中，同时查询是否有前缀等于之前的串即可。
可以定义一个新的数组 \(f_p\) 用于判断,判断字符串 \(s\) 时，只要出现 \(f_p=1\) 就说明有字符串与其匹配了，当然，存的时候，存完另 \(f_p=1\) 。
结合代码理解。
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代码如下：
#include<bits/stdc++.h> #define int unsigned long long #define endl '\n' using namespace std; const int N=1e6+10,P=1e9+7; template<typename Tp> inline void read(Tp&x) { x=0;register bool z=1; register char c=getchar(); for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0; for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48); x=(z?x:~x+1); } int T,n,t[N][20],tot=1; char s[N]; bool f[N]; void Tire(char s[]) { int p=1,l=strlen(s+1); for(int i=1;i<=l;i++) { int c=s[i]-'0'; if(!t[p][c]) t[p][c]=++tot; p=t[p][c]; } f[p]=1; } bool find(char s[]) { int p=1,l=strlen(s+1); for(int i=1;i<=l;i++) { int c=s[i]-'0'; if(!t[p][c]) return 0; p=t[p][c]; if(f[p]) return 1; } return 1; } signed main() { #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("in.txt","r",stdin); freopen("out.txt","w",stdout); #endif read(T); while(T--) { memset(f,0,sizeof(f)); memset(t,0,sizeof(t)); tot=1; bool ans=0; read(n); for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>s+1; if(find(s)) ans=1; Tire(s); } if(!ans) cout<<"YES"<<endl; else cout<<"NO"<<endl; } }
\(01Tire\)
定义与基本求法：
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定义
字符集只有 \(0||1\) 的 \(Tire\) 数，主要用来解决有关异或值的问题。
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基本求法：
异或有着安慰考虑的性质，每一位贡献是分开的，这与 \(Tire\) 树用不同深度存不同位定性质是吻合的。
如果要最大化异或值，一定先最大化其最高位，如果用 \(Tire\) 树从高到低来做，正好吻合了这个贪心思想。
根据例题来理解吧。
例题
\(The XOR Largest Pair\)
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题面：
给定 \(n\) 个整数 \(a_i\sim a_n\) ，在其中选出两个进行异或运算，求可以得到的最大结果。
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解法：
\(n\) 足够大，暴力不要想。
将这 \(n\) 个数转换成二进制，存到 \(Tire\) 树里。
再取这 \(n\) 个树，在 \(Tire\) 上跑一边，尽可能的向与其二进制位不同的方向。
此处体现了贪心的思想，因为二进制下 \(1aaaa>0bbbb\) 始终成立，高位优一定全局优。
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代码如下：
#include<bits/stdc++.h> #define int long long #define endl '\n' using namespace std; const int N=3e6+10,P=1e9+7; template<typename Tp> inline void read(Tp&x) { x=0;register bool z=1; register char c=getchar(); for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0; for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48); x=(z?x:~x+1); } int n,a[N],tot,t[N][2],ans; void Tire(int x) { int p=0; for(int i=31;i>=0;i--) { int l=(x>>i)&1; if(!t[p][l]) t[p][l]=++tot; p=t[p][l]; } } int find(int x) { int p=0,sum=0; for(int i=31;i>=0;i--) { int l=(x>>i)&1; if(t[p][l^1]) p=t[p][l^1], sum=sum<<1|1;//二进制运算 else p=t[p][l],sum=sum<<1;//同上 } return sum; } signed main() { #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("in.txt","r",stdin); freopen("out.txt","w",stdout); #endif read(n); for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]), Tire(a[i]); for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,find(a[i])); cout<<ans; }位运算方向注意不要写反了。
\(The XOR-longest Path\)
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题面：
给定一棵 \(n\) 个节点的带权树，求书上最长的异或和路径。
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解法：
首先了解异或的一个重要性质——自反性：
\(x\oplus x=0\)
所以一个元素，若对其进行了重复偶数次的重复，则视作没有异或。
∴ \(path(x,y)=path(x,lca)\oplus path(lca,y)=path(x,root)\oplus path(root,y)\)
故此求出每个点到根节点的异或和 \(d_i\) ，将 \(d_i\) 存到 \(Tire\) 中，问题就转化为了上一道题。
至于如何求每个节点到根节点的异或和，可以用 \(dfs\) 解决。
总结
对于 \(Tire\) 树此处涉及并不多，也还没有讲，上网上自己找的。
直接使用 \(Tire\) 树的问题还是相对容易的，也很好理解，\(01Tire\) 也是直接使用 \(Tire\) 的一个应用了，虽然只能解决异或问题。
而此处对其进行整理主要为了为后面的 \(AC\) 自动机等知识点做准备。
由此看，\(Tire\) 树还是很重要的，要牢牢掌握。
