「manacher」学习笔记

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定义与基本求法

定义

又名 马拉车 ，用于处理子串回文问题。

基本求法

暴力判断每个子串是否是回文是 $O (n^{3})$ 的，根据其对称性优化为 $O (n^{2})$ 依旧是不优秀的。

马拉车便是解决这种单一问题的算法，具有局限性，但同时是解决这种问题的不二选择。

枚举回文串的中点，例如 $a a b a a$ 的中点为 $b$ ，依次为基础进行下一步判断。

那么这里发现如果回文串长度为偶数则无法判断，于是将其进行下述优化：

例如 $a a a a a a$ ，将其每一个空隙插入一个 $#$ （两边也插）： $# a # a # a # a # a # a #$ ，这样其中点就变成了 $#$ ，长度也变为奇数。同时为了方便，对于奇数长度的回文也不放过，如 $a a a \to # a # a # a #$ ，每一个长度为 $n$ 的回文长度都变为 $2 \times n + 1$ ，这样无一例外的全部变为奇数长度。

先设 $p_{i}$ 为以 $i$ 为中点的回文的最长半径，例如： $# a # a # a # a #$ ，以中间的 $#$ 为中点，则其最长半径为 $4$ ，即 $# a # a #$ 的长度。

再以 $i$ 为中心，不断向两边扩张。定义 $m x$ 为之前找到的回文串最靠右的右边界， $i d$ 表示这个最大右边界对称轴的位置。

那么 $i$ 在 $m x$ 以内时，显然时存在对称性的， $p_{i} = p_{i d \times 2 - j}$ ，前提是其右端点必须在 $m x$ 以内，否则其右端点只能到 $m x$ , $p_{i}$ 也只能 $= m x - i$ 。继续向外扩展

不然他就只能自力更生了， $p_{j} = 0$ ，再进一步向外扩展。

只要 $s [i + p_{i}] = s [i - p_{i}]$ 就说明可以继续向外扩展了， $p_{i} + +$ 。

那么在扩展的过程中，超出 $m x$ 了，就刷新 $m x$ 的值，同时 $i$ 也成了新的 $i d$ 。

其实把马拉车理解了会发现这个东西很简单，很好理解，没有那么抽象。

于是就通过上述方法求出了每一个 $p_{i}$ 。

参考下面一些图：

综上所述：

 int init()
{
    int len=strlen(str);
    s[0]='@',s[1]='#';
    int j=2;
    for(int i=0;i<len;i++) s[j++]=str[i],s[j++]='#';
    s[j]='\0';
    return j;
}
void manacher()
{
    int ans=-1,mx=0,id=0,len=init();
    for(int i=1;i<len;i++)
    {
        if(i<mx) p[i]=min(p[id*2-i],mx-i);
        else p[i]=1;
        while(s[i+p[i]]==s[i-p[i]]) p[i]++;
        if(p[i]+i>mx) mx=p[i]+i,id=i;
    }
}

例题

模板

题目链接
上面的代码找最大的 $p_{i} - 1$ 即可。（因为 $#$ ）

神奇项链

题目链接
题面：

多个回文串拼在一起，且相同部分可重叠，如 $a b a, a c a$ 可以拼成 $a b a a c a$ 或 $a b a c a$ ，给定一字符串 $s$ ，求拼成该字符串最少需要多少步。
解法：

我们是将每个串插上 $#$ 的，所以就算不另其重叠， $#$ 也是会重叠的，这就解决了判断重叠的问题。

那么对于其每次拼定会存在重叠，所以只要求其最少产生多少重叠即可。

那么用到马拉车，先求出每个 $p_{i}$ ，随后就可以求出每一个回文的左右端点，将这些端点以左端点前后顺序排序。

这样使每两个回文重叠部分尽可能的小。确定一回文 $s$ 的右端点（当然也是尽可能靠右的，即当前左端点允许的，右端点最靠后的回文右端点），枚举后面回文的左端点，使其右端点端点尽可能的靠后，直至左端点与 $s$ 右端点重合，在此过程中，刷新最靠后的右端点。

举个例子，方便理解：

有次可见上述文字描述的正确性，以及无论拼合时无论是否重叠，加上 $#$ 之后都是有重叠的。

代码如下：

 #include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N=1e6+10,P=1e9+7;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
    x=0;register bool z=1;
    register char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
    for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    x=(z?x:~x+1);
}
char str[N],s[N];
int p[N],len;
struct aa
{
    int sta,en;
}a[N];
bool cmp(aa a,aa b) {return a.sta<b.sta;}
int init()
{
    int len=strlen(str);
    s[0]='#';
    int j=1;
    for(int i=0;i<len;i++) s[j++]=str[i],s[j++]='#';
    s[j]='\0';
    return j;
}
void manacher()
{
    int ans=-1,mx=0,id=0,len=init();
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        if(i<mx) p[i]=min(p[id*2-i],mx-i);
        else p[i]=1;
        while(s[i+p[i]]==s[i-p[i]]) p[i]++;
        if(p[i]+i>mx) mx=p[i]+i,id=i;
    }
}
int cover()
{
    int len=init();
    for(int i=0;i<len;i++)
        a[i].sta=i-p[i]+1,
        a[i].en=i+p[i]-1;
    stable_sort(a,a+len,cmp);
    int far=0,ans=0,i=0;
    for(i=0;a[i].sta<=0;i++)
        if(a[i].en>a[far].en)
            far=i;
    while(i<len)
    {
        ans++;
        int x=far;
        while(a[i].sta<=a[far].en&&i<len)
        {
            i++;
            if(a[i].en>a[x].en) 
                x=i;
        }
        far=x;
    }
    return ans;
}
signed main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    while(scanf("%s",str)!=EOF)
    {
        memset(p,0,sizeof(p));
        memset(a,0,sizeof(a));
        manacher();
        cout<<cover()-1<<endl;
    }
}

由此可见，马拉车也可以作为求具体问题的辅助算法存在。

$A n t i s y m m e t r y$

题目链接
题面：

反对称字符串，仅由 $0, 1$ 组成，如 $000111$ ，将 $0, 1$ 取反后，再反过来和原串一样。

现给定一个字符串，求它有多少个子串是反对称的。
解法：

回文，但是反的回文。

不难发现，如果其值反对称的，其长度必定是偶数。

举个反例： $011$ 显然无法是反对称的。

那么转换到 $m a n a c h e r$ 中，就是其对称中心必定是 $#$ ，那么跑 $m a n a c h e r$ 时，只管对称中心是 $#$ 的情况就行了。

下一步思考怎么跑这个回文，有两个方法：
1. 先建一个与其相反的字符串，如 $10001 \to 01110$ ，然后跑马拉车时改成 $s [i + p [i]] == t [i - p [i]]$ 就行了。
2. 当然也可以不用再建一个，他要是匹配成功一定是一个 $0$ 一个 $1$ ，那么判 $s [i + p [i]] + s [i - p [i]] = =^{'} 0^{'} +^{'} 1^{'}$ 就行了，这样会把 $#$ 跳过去，所以让 $p [i] + = 2$ ，还能快一点。
最后把所有对称中心是 $#$ 的 $p [i] \div 2$ 加起来就行了。至于把他 $\div 2$ 是因为他是插入了 $#$ 的，长度也就 $\times 2$ 了。

如果代码中直接把对称中心不是 $#$ 给 continue 了，那把所有的 $p [i]$ 加在一起也可以，因为对称中心不是 $#$ 的 $p [i]$ 肯定是 $0$ 。

打就完事了，挺简单的，但是别手残 $q w q$ $\to$ 不要手残
代码如下：

 #include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N=1e6+10;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
    x=0;register bool z=1;
    register char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
    for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    x=(z?x:~x+1);
}
string str,s=" #";
int n,p[N],ans,len;
void init()
{
    for(int i=0;i<n;i++) 
        s+=str[i],
        s+='#';
}
void manacher()
{
    int mx=0,id=0;
    len=s.size()-1;
    for(int i=1;i<=len;i++)
    {
        if(s[i]!='#') continue;
        if(i<mx) p[i]=min(p[(id<<1)-i],mx-i);
        else p[i]=1;
        while(s[i+p[i]]+s[i-p[i]]=='0'+'1'&&i+p[i]<=len&&i-p[i]>=1) 
            p[i]+=2;
        if(p[i]+i>mx) mx=p[i]+i,id=i;
    }
}
signed main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("ant13a.in","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    read(n);
    cin>>str;
    init();
    manacher();
    for(int i=1;i<=len;i++)
        ans+=p[i]>>1;
    cout<<ans;
}

总结

作为一个相对简单且应用范围不广的算法，没有找到别的经典例题了，到这儿就结束了。

打完博客对于其理解还是有很大进步的。

再次吐槽一下网课质量，依旧是网上找资料进行学习的。

例题的图是自己画的，上面基本求法的图是网上找的，感觉不错就扣下来了。

神奇项链这题感觉也是挺不错的，教练得知 $o j$ 上没有马拉车刚刚加上的，别的网站上没找到这道题（主要洛谷被禁了）,感觉应该是道蓝。

最后挺不明白这玩意为啥是 $N O I$ 知识点，感觉挺简单的（至少只有 $m a n a c h e r$ 不套别的是的），但是里面的题基本都是蓝题起步，其实想明白真挺简单的。

还有，别手残！

posted @ 2024-02-01 22:11 卡布叻_周深阅读(24) 评论(2) 编辑收藏举报

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	int init()
	{
	int len=strlen(str);
	s[0]='@',s[1]='#';
	int j=2;
	for(int i=0;i<len;i++) s[j++]=str[i],s[j++]='#';
	s[j]='\0';
	return j;
	}
	void manacher()
	{
	int ans=-1,mx=0,id=0,len=init();
	for(int i=1;i<len;i++)
	{
	if(i<mx) p[i]=min(p[id*2-i],mx-i);
	else p[i]=1;
	while(s[i+p[i]]==s[i-p[i]]) p[i]++;
	if(p[i]+i>mx) mx=p[i]+i,id=i;
	}
	}

	#include<bits/stdc++.h>
	#define int long long
	#define endl '\n'
	using namespace std;
	const int N=1e6+10,P=1e9+7;
	template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
	{
	x=0;register bool z=1;
	register char c=getchar();
	for(;c<'0'\|\|c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
	for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	x=(z?x:~x+1);
	}
	char str[N],s[N];
	int p[N],len;
	struct aa
	{
	int sta,en;
	}a[N];
	bool cmp(aa a,aa b) {return a.sta<b.sta;}
	int init()
	{
	int len=strlen(str);
	s[0]='#';
	int j=1;
	for(int i=0;i<len;i++) s[j++]=str[i],s[j++]='#';
	s[j]='\0';
	return j;
	}
	void manacher()
	{
	int ans=-1,mx=0,id=0,len=init();
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
	if(i<mx) p[i]=min(p[id*2-i],mx-i);
	else p[i]=1;
	while(s[i+p[i]]==s[i-p[i]]) p[i]++;
	if(p[i]+i>mx) mx=p[i]+i,id=i;
	}
	}
	int cover()
	{
	int len=init();
	for(int i=0;i<len;i++)
	a[i].sta=i-p[i]+1,
	a[i].en=i+p[i]-1;
	stable_sort(a,a+len,cmp);
	int far=0,ans=0,i=0;
	for(i=0;a[i].sta<=0;i++)
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	far=i;
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	{
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	int x=far;
	while(a[i].sta<=a[far].en&&i<len)
	{
	i++;
	if(a[i].en>a[x].en)
	x=i;
	}
	far=x;
	}
	return ans;
	}
	signed main()
	{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("out.txt","w",stdout);
	#endif
	while(scanf("%s",str)!=EOF)
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	memset(p,0,sizeof(p));
	memset(a,0,sizeof(a));
	manacher();
	cout<<cover()-1<<endl;
	}
	}

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