「乘法逆元」学习笔记

合集 - 学习笔记(19)

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5.「乘法逆元」学习笔记2023-12-28

6.「LCA」学习笔记2023-12-227.「矩阵乘法与快速幂」学习笔记2024-03-128.「manacher」学习笔记2024-02-019.「Tire树」学习笔记2024-01-3010.「KMP」学习笔记2024-01-3011.「哈希」学习笔记2024-01-2912.「威尔逊定理」学习笔记2024-01-1813.「欧拉函数」学习笔记2024-01-0914.「后缀数组」学习笔记2024-04-2815.「平衡树」学习笔记2024-05-2816.「BSGS」学习笔记2024-07-2517.「dfs 序求 lca」学习笔记2024-07-3018.「AC自动机」学习笔记2024-08-2519.「最小割树」学习笔记 & 「P4897 【模板】最小割树（Gomory-Hu Tree）」 题解02-22

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概念

若关于整数 $a,b$ 的线性同余方程 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}b)$ 存在解，则将 $x$ 称作 $amodb$ 的乘法逆元（简称逆元），记作 $a^{-1}(\mathrm{mod}b)$，在不会引起误解时常记作 $a^{-1}$

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• 当 $b|a$（整除）时，不存在 $a$ 的逆元 $a^{-1}(\mathrm{mod}b)$
• 特别的，有$1^{-1}\equiv 1(\mathrm{mod}b)$
  • 证明：对于整数 $b$，有 $1\times 1\equiv 1(\mathrm{mod}b)$，故 $1modb$ 的逆元为 $1$

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性质

• 若 $n$ 为正整数，则 $a^{-1}\equiv n+1(\mathrm{mod}2n+1)$
  • 证明：已知 $2x\equiv 1(\mathrm{mod}2n+1)$，设 $2x=(2n+1)k+1$，又因为 $2x$ 为偶数，$k$ 的最小整数解为 $1$，代入得 $x=n+1$
• 若 $b$ 为质数，且 $a<b$，则 $a^{-1}\equiv a^{b-2}(\mathrm{mod}b)$
  • 证明：需要用到费马小定理，暂时不会，学了回来再写

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求法

1. $exgcd$

详见 $exgcd\mathrm{学}\mathrm{习}\mathrm{笔}\mathrm{记}$

例题：同余方程

• 时间复杂度 $O(\log max(a,b))$

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2.线性求 $1\sim n$ 或单个数的逆元（递推/递归）

限制条件：$b$ 为质数

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证明：

设 $k=\lfloor \frac{b}{i}\rfloor$，$r=bmodi$,则有：

$b=k\times i+r\equiv 0(\mathrm{mod}b)$

两边同时乘上 $i^{-1}\times r^{-1}$ 得：

$k\times r^{-1}+i^{-1}(\mathrm{mod}b)$

移项得 $i^{-1}\equiv -k\times r^{-1}(\mathrm{mod}b)$

将 $k=\lfloor \frac{b}{i}\rfloor$，$r=bmodi$ 代入得：

$i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{b}{i}\rfloor \times (bmodi{)}^{-1}(\mathrm{mod}b)$

考虑消除负数取模对答案的影响，故推出逆元：

$$i^{-1}=\{\begin{array}{ll}1& i=1\\ (b-\lfloor \frac{b}{i}\rfloor )\times (bmodi{)}^{-1}& i\ne 1\end{array}$$

• 递推求 $1\sim n$ 的逆元，$O(n)$ 预处理，$O(1)$ 查询
• 递归求任意数的逆元，时间复杂度 $O(n^{\frac{1}{3}})$

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例题

$\mathrm{乘}\mathrm{法}\mathrm{逆}\mathrm{元}$

代码如下（递推）：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
#define endl '\n'
using namespace std;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
    x=0;register bool z=1;
    register char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
    for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    x=(z?x:~x+1);
}
void wt(int x){if(x>9)wt(x/10);putchar((x%10)+'0');}
void write(int x){if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;wt(x);}
int n,p,inv[10000010];
void niyuan(int n)
{
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=((p-p/i)*inv[p%i])%p;
}
signed main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    read(n),read(p);
    niyuan(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        write(inv[i]),puts("");
}