exgcd
定义
又名扩展欧几里得算法（辗转相除法）
是用来求 \(ax+by=gcd(a,b)\) 中未知数的算法
算法证明
拿到一组 \(a,b\) ，设 \(G=gcd(a,b)\)
目标：求出满足 \(ax+by=G（1）\) 的 \(x\) 与 \(y\)
如果 已知一组 \(x_2,y_2\) ，满足 \(bx_2+\) \((a\bmod b)y_2=G（2）\)
此时结合 \((1)(2)\) 得
\(ax+by=\) \(bx_2+\) \((a\bmod b)y_2（3）\)
那么当 如果 满足时，目标就成了求满足 \((3)\) 的 \(x,y\)，其中 \(a,b,x_2,y_2\) 均已知
根据取模运算是 \(a\bmod b=a-b\times \lfloor{\dfrac{a}{b}}\rfloor\)
所以方程 \((3)\) 实则是
\(ax+by=bx_2+(a-b\times \lfloor{\dfrac{a}{b}}\rfloor)y_2\)
\(->\) \(ax+by=bx_2+ay_2-b\times \lfloor{\dfrac{a}{b}}\rfloor y_2\)
\(->\) \(ax+by=ay_2+b(x_2-\lfloor{\dfrac{a}{b}}\rfloor y_2)\)
那么在根据方程 \(ax+by=G（1）\) 得出一组必然的解：
\(x=y_2,y=x_2-\lfloor{\dfrac{a}{b}}\rfloor y_2（4）\)
可见只需求出 \(x_2,y_2\) ，就能求出正确的 \(x,y\)，问题就转化成了求 \(x_2,y_2\)
将方程 \((1)\) 与 \((2)\) 对比一下：
\(ax+by=G（1）\)
\(bx_2+\) \((a\bmod b)y_2=G（2）\)
发现原方程的 \(a\) 变成了 \(b\)，原方程的 \(b\) 变成了 \(a\) 而已
所以新的方程也可以看做 \(ax+by=G\) 的形式，然后按照上面的程序进行下来，发现问题又变为求 \(x_3,y_3\) 再求 \(x_4,y_4\) \(......\) 即一个递归的过程
递归过程中 \(a,b\) 不断被替换为 \(b,a\bmod b\)，这个过程和普通的欧几里得是一样的，所以最后会出现 \(a_n=G,b_n=0\)
那么这特就是最后一层，此时就要直接返回了，需要一组 \(x_n,y_n\) 满足 \(a_nx_n+b_ny_n=G（5）\)，然而 \(a_n=G,b_n=0\)，所以只要 \((5)\) 的 \(x_n\) 取 \(1\) 就必定满足了，\(y_n\) 就随便取个 \(0\) 就行了
最后一层结束后，就开始返回，知道最上一层，每一层都可以通过下一层的 \(x_{k+1},y_{k+1}\) 求出当前层的 \(x_k,y_k\)
整个过程就是：以辗转相除的方式向下递进，不断缩小系数，保证会出现有确定解的最后一层
exgcd板子
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
int d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
\(注意：x,y不要忘了取地址！\)
答案处理
对于更为一般的方程，\(ax+by=c\)，他有解当切仅当 \(c\bmod d=0\)（设 \(d=gcd(x,y)\)）。通过 \(exgcd\) 求出一组特解 \(x_0,y_0\)，令他们同时 \(\times c/d\)，就得到了 \(ax+by=c\) 的一组特解 \(\lfloor{\dfrac{c}{d}}\rfloor x_0,\lfloor{\dfrac{c}{d}}\rfloor y_0\)
事实上，方程 \(ax+by=c\) 的通解可以表示为：
\(x=\lfloor{\dfrac{c}{d}}\rfloor x_0+k\lfloor{\dfrac{b}{d}}\rfloor\) \(，\) \(y=\lfloor{\dfrac{c}{d}}\rfloor y_0-k\lfloor{\dfrac{a}{d}}\rfloor\)
其中 \(k\) 取遍正数集合，其余量上面已设
例题1：同余方程
题目链接 同余方程
问题处理
题目问的是满足 \(ax\bmod b=1\) 的最小正整数（a,b均为正整数）
问题可以转化成求 \(ax+by=1\) 中 \(x\) 的值，其中 \(y\) 是个引入的辅助数（y一定是一个负数，但是写成 \(+\) 的形式以便 \(exgcd\) 算法）
问题仍需转化，\(exgcd\) 求得是 \(ax+by=gcd(a,b)\)，所以求方程 \(ax+by=m\) 必须满足的条件就是 \(m\bmod gcd(a,b)=0\)
简单证明一下：
由最大公因数的定义，\(a,b\) 均是 \(gcd(a,b)\) 的倍数，因为 \(m=ax+by\)，所以 \(m\) 一定是 \(gcd(a,b)\) 的倍数，即 \(m\bmod gcd(a,b)=0\)
可得这道题中，必须满足 \(1\bmod gcd(a,b)=0\)，那么 \(gcd(a,b)\) 就必须等于 \(1\) 了，即 \(a,b\) 互质（数据一定是满足的）
之后通过上述的 \(exgcd\) 算法即可，但是题目要求 \(x\) 的最小值，仅仅 \(exgcd\) 无法满足，所以需要答案处理
答案处理
求出来的 \(x,y\) 仅仅满足 \(ax+by=1\)，而 \(x\) 不一定是最小正整数解。有可能太大，也可能是负数
解决方案是：\(x\) 批量地减去或加上 \(b\)，能保证 \(ax+by=1\)，因为：
\(ax+by=1\)
\(-> ax+by+k\times ba-k\times ba=1\)
\(-> a(x+kb)+(y-ka)b=1\)
1.显然这并不会把方程中的任何整数变为非整数
2.加上或减去 \(b\) 不会使 \(x\) 错过任何解，可以这么理解：
已经求出一组 \(x,y\) 使得 \(ax+by=1\)，也就是 \((1-ax)\div b=y\)，\(y\) 是整数，可见目前 \(1-ax\) 是 \(b\) 的倍数
现在给 \(x\) 加上 \(kb\)（k为整数），则变为：
\((1-a(x+kb))\div b\)
\(=(1-ax)\div b+ak\)
仍满足其为 \(b\) 的倍数，由此当 \(x\) 的变化量为 \(b\) 的倍数时，等式仍满足
因此到最后，如果 \(x\) 太小就不断 \(+b\) 直到 \(>=0\)，反之则一直减直到最小正整数值，就是这么写
x=(x%b+b)%b;
总代码如下
#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
x=0;register bool z=1;
register char c=getchar();
for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
x=(z?x:~x+1);
}
int a,b,x,y;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
int d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
signed main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
read(a),read(b);
exgcd(a,b,x,y);
x=(x%b+b)%b;
cout<<x;
}
例题2：青蛙的约会
题目链接 青蛙的约会
问题处理
两点在数轴上，\(A,B\)，\(A\) 在 \(x\)，这个位置，\(B\) 在 \(y\) 这个位置，数轴长度为 \(l\)， \(A\) 每次向右移 \(m\) 个长度，\(B\) 每次向右移 \(n\) 个长度，题意表明他是一个环，也就是说 \(A_k\) 下一次 \(A_{k+1}\) 到达 \((A_k+m)\bmod l\) 的位置，\(B_k\) 下一次 \(B_{k+1}\) 到达 \((B_k+n)\bmod l\) 的位置
设他跳 \(k\) 次后相遇，即 \(A_k=B_k\)
带进去就是 \((x+km)\bmod l=(y+kn)\bmod l\)
\(引入一条性质：\)
左右括号内同时减（加）去一个数等式仍然成立：
如果 \(a\bmod P=b\bmod P\)
则 \((a-c)\bmod P=(b-c)\bmod P\)
那么原式就可以变为
\(->((x-y)+km)\bmod l=kn\bmod l\) (左右两边括号内同时减去 \(y\) )
\(->((x-y)+k(m-n))\bmod l=0\) (左右两边同时减去 \(kn\) )
那么根据该方程，\((x-y)+k(m-n)\) 一定是 \(l\) 的倍数，不妨设 \((x-y)+k(m-n)=-t\times l\) ( \(-t\) 为新设的倍数值)
\(->k(m-n)+tl=y-x\) (现在知道为什么设 \(-t\) 了吧)
于是终于将推导式转化成了 \(exgcd\) 的形式，\(k(m-n)+tl=gcd(m-n,l)\) ，借鉴上一道题的证明，\(y-x\) 一定是 \(gcd(m-n,l)\) 的倍数
就需要思考一下数据是否满足，题目要求如果两点永远无法相遇则输出 \(Impossible\)，所以如果不满足 \(y-x\) 是 \(gcd(m-n,l)\) 的倍数时，输出 \(Impossible\) 即可
用 \(exgcd\) 求出 \(k(m-n)+tl=gcd(m-n,l)\) 的 \(k\) 之后，对他进行答案处理即可
答案处理
1.借鉴上题的答案处理，我们刚刚求出来的时第一层的结果，但他显然不一定是第一次相遇的结果，例题1答案处理的式子是 \(x=(x\bmod b+b)\bmod b\)
2.我们导出来的是 \(k(m-n)+tl=y-x\)，而他求的是 \(k(m-n)+tl=gcd(m-n,l)\)，满足 \(y-x\) 是 \(gcd(m-n,l)\) 的倍数，所以真正的答案应该是求出的答案 \(\times (y-x)\div gcd(m-n,l)\)，设 \(c=y-x,d=gcd(m-n,l)\)，则答案应 \(\times c/d\)
借鉴这两点，推导出这道题的答案处理式子为
x=((x*(c/d))%(b/d)+(b/d))%(b/d);
\(x\) 表示求出来那个 \(k\)，\(b\) 表示 \(l\)，\(c,d\) 上面已设，之前的 \(b\) 也 \(\div d\)
总代码如下
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'
using namespace std;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
x=0;register bool z=1;
register char c=getchar();
for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
x=(z?x:~x+1);
}
int x,y,n,m,l,xx,yy;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
int d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
signed main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
read(xx),read(yy),read(m),read(n),read(l);
int a=m-n,b=l,c=yy-xx;
if(a<0) a=-a,c=-c;
int d=exgcd(a,b,x,y);
if((c%d)!=0) cout<<"Impossible";
else cout<<(((x*(c/d))%(b/d)+(b/d))%(b/d));
}
注意事项
放到 \(exgcd\) 里的这个 \(a\) 需要保证是正的，同时 \(m-n\) 对应的一定是 \(y-x\)，反之，如果 \((m-n)<0\)，将他改为 \(n-m\) 的同时，\(y-x\) 也要改为 \(x-y\)，即代码中的这一行
int a=m-n,b=l,c=yy-xx;
if(a<0) a=-a,c=-c;
例题3：倒酒
题目链接 倒酒
问题处理
问题比较简单，也不需要怎么证明，输入 \(a,b\)
显然，能够倒出的最小数为 \(d=gcd(a,b)\)
而倒 \(A\) 的次数 \(x\) 和倒 \(B\) 的次数 \(y\) 满足 \(by-ax=d\)
放到 \(exgcd\) 中即可
答案处理
难点在于答案处理，怎么搞出来最小解？
显然，求出的 \(x\) 为负的，所以输出的应为 \(-x\)
那我们按照前两题的思路这么打
x=(x%m-m)%m;
y=(y%n+n)%n;
但是这样是错误的，\(Wa\) \(90分\)
根据我们上面打过的总的答案处理，$x=\lfloor{\dfrac{c}{d}}\rfloor x_0+k\lfloor{\dfrac{b}{d}}\rfloor $ \(，\) \(y=\lfloor{\dfrac{c}{d}}\rfloor y_0-k\lfloor{\dfrac{a}{d}}\rfloor\)，本道题的 \(c=d\)，所以 \(x=x_0+k\lfloor{\dfrac{b}{d}}\rfloor\) \(，\) \(y=y_0+k\lfloor{\dfrac{a}{d}}\rfloor\)
同时保证最后输出的是正的最小值，先让 \(x\) 和 \(a\) 变成 \(-x,-a\)，因为我们求出来的这个 \(x\) 显然是负数
之后，在保证 \(x,y\) 均 \(>0\) 的前提下不断地枚举这个 \(k\)，根据上面这个公式：
当 \(x<0\) 时，让他不断加上 \(\lfloor{\dfrac{b}{d}}\rfloor\) ，当他大于 \(0\) 的一瞬间，就是正的最小值
同理，当 \(x>=0\) 时，\(y\) 做出对应调整，不断地减去 \(\lfloor{\dfrac{a}{d}}\rfloor\)
如下
x*=-1;a*=-1;
while((x<0)||(y<0))
x+=(x<0)?b/d:0,
y-=(x>=0)?a/d:0;
需着重理解一下
总代码如下
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'
using namespace std;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
x=0;register bool z=1;
register char c=getchar();
for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
x=(z?x:~x+1);
}
int x,y,n,m;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
int d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
signed main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
read(n),read(m);
int d=exgcd(n,m,x,y);
x*=-1;n*=-1;
while((x<0)||(y<0))
x+=(x<0)?m/d:0,
y-=(x>=0)?n/d:0;
cout<<d<<endl<<x<<' '<<y;
}
例题4：一元二次不定方程（模板）
题目链接一元二次不定方程
问题处理
给定一式子 \(ax+by=c\)
- 求 \(x_{min},y_{min}\)
- 求 \(x_{max},y_{max}\)
- 求解的个数
求 \(x_{min},y_{min}\)
通过 \(exgcd\) 很容易求出 \(x,y\)，在通过简单的答案处理即可求出 \(x_{min},y_{min}\)
求 \(x_{max},y_{max}\)
不难理解，当 \(x\) 为最大值时，即对应 \(y\) 的最小值，同理通过此方式可求出 \(y\) 的最大值
求解的个数
现拿到一组解 \(ax_{min}+y_{max}=c\)
使 \(x\) 不断加上 \(b\)，使 \(y\) 不断减去 \(a\)，直到 \(ax_{max}+by_{min}=c\)
这样就求出了不定方程的所有解，不难发现，此过程中，共出现了 \(\lfloor\dfrac{x_{max}-x_{min}}{b}\rfloor +1\) 或者说 \(\lfloor\dfrac{y_{max}-y_{min}}{a}\rfloor +1\) 组解，即解的个数
答案处理
首先设 \(x=x_{min},y=y_{min},d=\gcd(a,b)\)
处理最小值
借鉴例题2和总答案处理中的通解，\(x_{min},y_{min}\) 的答案处理为
x=(x*(c/d)%(b/d)+(b/d))%(b/d);
y=(y*(c/d)%(a/d)+(a/d))%(a/d);
但同时，题目要求 \(x,y\) 均为正整数，所以 \(0\) 也不行，故还需要
x=(x?x:x+(b/d)),y=(y?y:y+(a/d));
处理最大值
根据我们问题处理中最大值的求法，得出最大值为
x_max=(c-y*b)/a,y_max=(c-x*a)/b;
处理解的个数
直接根据我们上面推出的式子
ans=(x_max-x)/(b/d)+1;
或者
ans=(y_max-y)/(a/d)+1;
最后注意
题目要求若不存在 \(x,y\) 均为正整数的解，只输出 \(x_{min},y_{min}\),只需要判断 \(x_{max},y_{max}\) 中是否存在 \(\leq 0\) 的即可
总代码如下
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'
using namespace std;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
x=0;register bool z=1;
register char c=getchar();
for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
x=(z?x:~x+1);
}
int T,a,b,c,x,y;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
int d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
signed main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
read(T);
while(T--)
{
read(a),read(b),read(c);
x=y=0;
int d=exgcd(a,b,x,y);
if(c%d)
{
cout<<-1<<endl;
continue;
}
x=((x*(c/d))%(b/d)+(b/d))%(b/d);
y=((y*(c/d))%(a/d)+(a/d))%(a/d);
x=(x?x:x+(b/d)),y=(y?y:y+(a/d));
int x_max=(c-y*b)/a,y_max=(c-x*a)/b,ans=(y_max-y)/(a/d)+1;
if(x_max<=0||y_max<=0) cout<<x<<' '<<y<<endl;
else cout<<ans<<' '<<x<<' '<<y<<' '<<(c-y*b)/a<<' '<<(c-x*a)/b<<endl;
}
}
