「割点」&「割边」学习笔记

合集 - 学习笔记(19)

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$\mathrm{割}\mathrm{点}$

$\mathrm{无}\mathrm{向}\mathrm{图}\mathrm{割}\mathrm{点}\mathrm{判}\mathrm{定}\mathrm{法}\mathrm{则}$

当遍历到一个点x时，这个点为割点的情况有两种：

• 第一种是该节点为根节点且子节点数>=2，必导致两个子节点不连通；
• 第二种是该节点不为根节点，且 $low[i]>=dfn[x]$,即子节点i可回溯到的最早的点不早于x点，那么删去x一定导致x的子节点不连通；

反之，若 $low[i]<dfn[x]$，则说明i能绕行到比x更早的点，则x不是割点；（即环内的点割不掉）；

//无向图割点模板
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
#define endl '\n'
#define N 20001
using namespace std;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
    x=0;register bool f=1;
    register char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') f=0;
    for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    x=(f?x:~x+1);
}
int n,m,a,b,tot,root,ans,dfn[N],low[N];
bool cut[N];
vector<int> e[N];
void tarjan(int x)
{
	dfn[x]=low[x]=++tot;
	int child=0;
	for(int y:e[x])
		if(!dfn[y])
		{
			tarjan(y),
			low[x]=min(low[x],low[y]);
			if(low[y]>=dfn[x])
			{
				child++;
				if(x!=root||child>1) cut[x]=1;
			}
		} 
		else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
signed main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
	read(n),read(m);
	while(m--) 
		read(a),read(b),
		e[a].push_back(b),
		e[b].push_back(a);
	for(root=1;root<=n;root++)
		if(!dfn[root]) tarjan(root);
	for(int i=1;i<=n;i++) if(cut[i]) ans++;
	cout<<ans<<endl;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(cut[i]) cout<<i<<' ';
}

• 样例输入：
  7 10
  1 2
  2 3
  3 4
  2 4
  1 4
  1 5
  5 6
  5 8
  7 8
  5 7
• 样例输出
  2
  1 5
  

$\mathrm{割}\mathrm{边}$

无向图的割边判定法则

• 在遍历到一个点x 的子节点y，满足 $low[y]>dfn[x]$，则 $(x,y)$ 这条边就是割边；
• $low[y]>dfn[x]$ ，说明不经过 $(x,y)$ ，y无法到达比x更早的点，故割掉这条边；
• 反之，若 $low[y]<=dfn[x]$，则y能够到达x或比x更早的点，$(x,y)$ 就不是割边，即环内没有割边；

$\mathrm{注}\mathrm{意}\mathrm{事}\mathrm{项}：$

• 求桥的时候，议案为边是无向的，所以父亲与孩子的关系也要自己规定一下，正常的 $elselow[x]=min(low[x],low[y])$ 应改为 $elseif(y!=fa)low[x]=min(low[x],low[y])$；因为如果y是x的父亲，这条无向边就被误认为是环了；

• 找桥的时候，有重边的一定不是桥；
  
  
  割边是（1，2）和（1，5）。

板子：洛谷 P1656 炸铁路

• 题目描述
  A国要使B国的铁路系统瘫痪，要炸毁一条铁路使其铁路无法全部联通，问可炸毁那一条铁路？
• 输入格式
  第一行 $n,m$ ($1<=n<=150,1<=m<=5000$),分别表示n个城市和m条铁路。
  以下m行，每行 $a,b$ ，表示城市a和城市b间有铁路直接联通。
• 输出格式
  输出若干行，每行 $a,b$ ，其中 $a<b$ ，表示$（a,b）$是 $keyroad$ .
  请注意：输出时，所有的数对必须按照a从小到大排序输出，若a相同，根据b从小到大输出。

代码实现：

//无向图割边模板,炸铁路
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
#define endl '\n'
#define N 200
#define M 20001
using namespace std;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
    x=0;register bool f=1;
    register char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') f=0;
    for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    x=(f?x:~x+1);
}
int n,m,a,b,tot,ans,dfn[N],low[N];
bool v[N][N],again[N][N];
vector<int> e[M];
struct aa{int l,r;}s[M];
bool cmp(aa s1,aa s2){if(s1.l==s2.l) return s1.r<s2.r;return s1.l<s2.l;}
void tarjan(int x,int fa)
{
	dfn[x]=low[x]=++tot;
	for(int y:e[x])
		if(!dfn[y])
		{
			tarjan(y,x),
			low[x]=min(low[x],low[y]);
			if(low[y]>dfn[x]) s[++ans]=(aa){x,y};
		} 
		else if(y!=fa||again[x][y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);//重边一定不是割边
}
signed main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
	read(n),read(m);
	while(m--) 
    {
        read(a),read(b);
        if(v[a][b]) 
        {
            again[a][b]=again[b][a]=1;//判断重边 
            continue;
        }
        v[a][b]=v[b][a]=1,
		e[a].push_back(b),
		e[b].push_back(a);
    }
	for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i,i);
    stable_sort(s+1,s+1+ans,cmp);
    for(int i=1;i<=ans;i++) cout<<s[i].l<<' '<<s[i].r<<endl;
}

• 样例输入
  7 10
  1 2
  2 3
  2 4
  3 4
  1 5
  5 6
  5 7
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  5 8
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• 样例输出
  1 2
  1 5