关于一类最优解存在长度为 $k$ 的循环节的问题

证明来源

问题形式：给定长度为 $n$ 的序列，要求选出一些位置，使这些位置满足限制条件 $T$，其中 $T$ 满足性质：“若长为 $k$ 的序列 $A$ 满足条件，那么序列 $AA\dots A$ 也满足条件”，选出第 $i$ 个位置的收益是 $f(i\bmod k)$，求最大收益。

关键在于证明一个引理：最优解一定存在长度为 $k$ 的循环节。证明如下：

假设 $n \bmod (x+y) \neq 0$, 等于 $0$ 是 trivial 的。则把 $1 \sim n$ 分为若干个段, 从左往右, 第奇数个段 (下标从 1 开始) 的长度是余数 $r$, 偶数段的长度是 $x+y-r$, 共有奇数个段。

设 $d l t_i$ 表示把所有与第 $i$ 个段的下标奇保性相同的段全部改为 $i$, 序列总权值的变化量 (不考虑合不合法)。显然 $\sum_k d l t_{2 k+1}=$ $\sum_k d l t_{2 k}=\sum_k d l t_k=0$ 。我们想证明的, 其实是 $\exists x, d l t_x+d l t_{x+1} \geq 0$ ，反证, 假设不存在, 即 $\forall x, d l t_x+d l t_{x+1}<0$, 则

• $d l t_2+d l t_3<0, d l t_4+d l t_5<0, \ldots$, 可以得到 $\sum_{i \neq 1} d l t_i<0$ 。但 $\sum d l t_i=0$, 因此 $d l t_1>0$ 。

• $d l t_1+d l t_2<0, d l t_4+d l t_5<0, \ldots$, 可以得到 $\sum_{i \neq 3} d l t_i<0$ 。 但 $\sum d l t_i=0$, 因此 $d l t_3>0$ 。

• 以此类推得到 $\forall k, d l t_{2 k+1}>0$ 。

与 $\sum_k d l t_{2 k+1}=0$ 矛盾。证毕。

有长度为 $k$ 的循环节，一切就都好做了。