【杂题，树】【Uoj】Uoj618 【JOISC2021】聚会 2

2023.7.3 Problem Link

给定一棵 \(n\) 个点的树，对于一个点集 \(S\)，定义 \(f(u,S)\) 为 \(\min_u \sum_{v\in S} \mathrm{dis}(u,v)\)，\(g(S)\) 为使得 \(f(u,S)\) 取到最小值的 \(u\) 个数。对 \(1\le i\le n\)，求 \(\min_{|S|=i} g(S)\)。边权均为 \(1\)。

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首先当 \(i\) 是奇数的时候答案一定为 \(1\)，否则答案一定是一条链。把思路转移到这条链上。

考虑这条链上的点有什么性质，就是这条链的端点满足它指向链外的子树大小 \(\ge i/2\)，然后动态加新满足条件的点维护整棵树的直径即可。

但是发现我们并不知道一个点往外指的子树是哪条，怎么办呢？

思路 1：发现点不好考虑，转到边上。发现一条边在链上需要它两边的子树中较小的那个 \(\ge i/2\) 即可，于是把加点变成加边即可。

思路 2：考虑点还是可以的。发现对于链的端点，链那端的子树大小一定 \(\ge i/2\)，所以把一个点的权值定为除去最大子树以外的子树和即可。