Irwin-Hall 分布学习笔记

定理：Irwin-Hall 分布

对于 $n$ 个在 $[0,1]$ 内均匀分布的实数随机变量，它们的和不超过一个实数 $z$ 的概率为：

$$F(z)=\sum\limits_{k=0}^{\lfloor z\rfloor} (-1)^k\binom{n}{k}\frac{(z-k)^n}{n!}$$

证明：

首先明确一个概念：概率密度。

对于一个随机变量 $X$，在 $[0,1]$ 上定义概率密度 $\rho(x)$，使得对于任意 $t\in[0,1]$，有 $\int_{x=0}^t \rho(x)\mathrm{d}x=P(X\le t)$ 成立。如果令 $f(t)=P(X\le t)$，那么就有 $\rho(t)=f'(t)$。

那么对于 $n$ 个随机变量 $X_1,X_2,\dots,X_n$，它们的和 $\le z$ 的概率即为：

$$P(\sum X_i\le z)=\int\limits_{x_i\in[0,1],\sum x_i\le z}\prod \rho_i(x_i)\prod \mathrm{d}x_i \tag{1}$$

可以将概率密度理解为线段 $[0,1]$ 上密密地撒有很多很多带权的小点，如果一个随机变量 $X_i$ 取到了点 $x_i$，那么它就会产生 $\rho_i(x_i)$ 的权重。多个变量的权重即为每个变量单独的权重之积。仔细理解一下这样的定义是很合理的。

在 Irwin-Hall 分布里，所有随机变量是均匀随机的，所以 $P(X\le t)=t$，于是求导即可得 $\rho(t)=1$。

为了方便计算，我们将函数 $\rho(x)$ 进行扩域。准确来说，原本的 $\rho(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的，这也可以视为当 $x\notin [0,1]$ 时 $\rho(x)=0$；为了方便 $(1)$ 式的计算，我们令 $\rho(x)=\rho'(x)-\rho''(x)$（这里不是求导），其中 $\rho'(x)$ 和 $\rho''(x)$ 的函数表达式和 $\rho(x)$ 完全相同，只是 $\rho'(x)$ 改为定义在 $[0,+\infty)$ 上，$\rho''(x)$ 改为定义在 $[1,+\infty)$ 上。这样 $(1)$ 式的求和下标中上界就可以省去，有利于进一步的推导。

现在继续对 $(1)$ 式的推导。

$$\begin{aligned} P(\sum X_i\le z)&=\int\limits_{x_i\in[0,1],\sum x_i\le z}\prod \rho_i(x_i)\prod \mathrm{d}x_i\\ &=\int\limits_{x_i\in[0,1],\sum x_i\le z}\prod (\rho'_i(x_i)-\rho''_i(x_i))\prod \mathrm{d}x_i\\ &=\sum\limits_{k}(-1)^k\binom{n}{k}\int\limits_{x_i\ge 0,\sum x_i\le z-k}\prod\limits_{i=1}^k \rho''_i(x_i+1) \prod\limits_{i=k+1}^n \rho'_i(x_i)\prod \mathrm{d}x_i \end{aligned} \tag{2}$$

式子中的 $k$ 即枚举钦定了几个变量是大于 $1$ 的，然后进行容斥。

对于 Irwin-Hall 分布来说，$\prod\limits_{i=1}^k \rho''_i(x_i+1) \prod\limits_{i=k+1}^n \rho'_i(x_i)$ 恒为 $1$，于是 $(2)$ 式即为：（注意下标中 $x_i$ 之和 $\le z-k$ 而非 $z$）

$$\sum\limits_{k}(-1)^k\binom{n}{k}\int\limits_{x_i\ge 0,\sum x_i\le z-k}\prod \mathrm{d}x_i \tag{3}$$

考虑积分里面的式子。我们将 $\sum x_i\le z-k$ 视为在 $z-k$ 内选出 $n$ 个数 $t_1\le t_2\le \dots \le t_n$，然后计算 $\rho_1(t_1)\times\rho_2(t_2-t_1)\times\dots\times\rho_n(t_n-t_{n-1})=1$。然后发现 $t_1\le t_2\le \dots \le t_n$ 很烦，又发现贡献系数和 $t_i$ 的具体值毫无关系，于是可以直接变成 $t_i$ 在 $[0,z-k]$ 内任选，然后乘上一个 $\frac{1}{n!}$ 的系数。于是 $(3)$ 式即为：

$$\sum\limits_{k=0}^{\lfloor z \rfloor}(-1)^k\binom{n}{k}\frac{(z-k)^n}{n!}$$

$\mathrm{Q.E.D.}$