经典问题 2 —— 动态不包含区间与点完美匹配问题

问题描述

你需要维护一个数据结构，支持：加入/删除一个区间，加入/删除一个点，查询是否存在区间到点的完美匹配，使每个区间都在匹配中。保证任何时候不存在两个互相包含的区间。

题解

考虑 Hall 定理，发现如果选出若干个区间，那么我们只关心这些区间的并。进一步可以发现只用考虑这个并是一个连续区间的情况。设这个并为 \([L,R]\)。由 Hall 定理，我们只需要任意一个 \([L,R]\) 包含的区间个数 \(\le\) \([L,R]\) 的点个数。

那么如果存在一个区间 \([l,r]\supseteq [L,R]\)，那么 \([L,R]\) 必然不包含任何区间，此时显然成立。

否则，记 \(s_i\) 为前缀点的数量，\(a_i\) 为右端点 \(\le i\) 的区间数量，\(b_i\) 为左端点 \(\le i\) 的区间数量，分讨发现包含于 \([L,R]\) 的区间数量即为 \(a_R-b_{L-1}\)（用到 \([L,R]\) 不包含于任何区间的性质！），则合法当且仅当对于所有 \(L\le R\) 有 \((s_R-s_{L-1})-(a_R-b_{L-1})\ge 0\)，即 \((b_{L-1}-s_{L-1})+(s_R-a_R)\ge 0\)。

于是在每个线段树节点上分别维护 \(b_i-s_i\) 和 \(s_i-a_i\) 的最大值，只需支持区间加，求最大值即可，合并左右儿子节点是容易的。时间复杂度 \(O(n\log n)\)。