神秘算法 —— 线性基求交

线性基求交：设 $A,B$ 为两个线性基，$V_A,V_B$ 分别为其生成空间，则 $V_C=V_A\cap V_B$ 是一个线性空间，称 $A$ 与 $B$ 两个线性基的交为 $C$。

首先证明 $V_C$ 是一个线性空间。其实很显然，对于任意 $x,y\in V_C=V_A\cap V_B$，$x,y\in V_A\implies x\oplus y\in V_A$，同理 $x\oplus y\in V_B$，从而 $x\oplus y\in V_A\cap V_B=V_C$。

以下是求线性基的交 $C$ 的算法：

首先对线性基 $B$ 进行一些调整（后面会讲），保持其生成空间 $V_B$ 不变。
设存在一个线性基 $W$，满足以下三条性质：

$$\begin{cases} W=\{b\ |\ b\in B, b\in V_A\}\\ B-W=\{b\ |\ b\in B,b\notin V_A\}\\ V_{B-W}\cap V_A=\{0\} \end{cases}$$

说成人话，就是 $W$ 是线性基 $B$ 中与 $V_A$ 有交的那部分，$B$ 中其余部分与 $A$ 线性无关。
那么可以证明，$W$ 即为所求的线性基的交 $C$。

分两步证明 $V_W=V_A\cap V_B$：

1. 假设存在 $u\notin V_W$ 且 $u\in V_A\cap V_B$。
   由于 $u\in V_B$，故此时存在一些 $\{b_i\}$ 满足 $b_i\in B,\ \bigoplus b_i=u$。将这些 $b_i$ 分成两部分，前者 $\in W$，后者 $\in B-W$，令前者的异或和为 $s$，后者为 $t$，则 $s\in V_W,t\in V_{B-W}$。
   而 $u\in V_A,s\in V_W\subseteq V_A$，故 $t=u\oplus s\in V_A$。又 $t\in V_{B-W}$，由性质 3 得 $t=0$，从而 $u=s\in V_W$，矛盾。
2. 假设存在 $u\in V_W$ 且 $u\notin V_A\cap V_B$。
   组成 $u$ 的基底既在 $B$ 中也在 $V_A$ 中，显然矛盾。

现在我们剩下的问题就剩下求出 $W$ 了。

对每个 $b_i$ 依次执行以下操作：

• 若 $b_i\in \mathrm{span}(\{a_1,a_2,\dots,a_n,b_1,b_2,\dots,b_{i-1}\})$，设其表示为 $b_i=\alpha \oplus \beta$，其中 $\alpha \in V_A,\beta \in \mathrm{span}\{b_1,\dots,b_{i-1}\}$，令 $b_i\leftarrow b_i\oplus \beta$，并标记其为 $1$ 类；
  否则，不做任何操作，标记其为 $2$ 类。

最终得到的 $\{b_i\}$ 与 $V_A$ 的交即为满足条件的 $W$。以下证明其满足 $V_{B-W}\cap V_A=\{0\}$：

发现经过前面的操作，所有 $1$ 类的 $b_i$ 都 $\in V_A$，所有 $2$ 类的 $b_i$ 都 $\notin V_A$。于是 $1$ 类 $b_i$ 所组成的集合即为 $W$，$2$ 类即为 $B-W$。

若存在 $u\neq 0$ 满足 $u\in V_{B-W}$ 且 $u\in V_A$，则存在若干个 $2$ 类 $b_i$ 以及若干个 $a_i$ 使得 $\bigoplus b_i=u=\bigoplus a_i$，取出这些 $b_i$ 中下标最大的那个 $b_k$，则 $b_k=b_1\oplus b_2\oplus \dots \oplus b_{k-1} \oplus \bigoplus a_i$，与在位置 $k$ 时 $b_k$ 没有标记为 $1$ 类矛盾！

证毕。

代码实现如下：

其中 tA 数组代表 $\{a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_{k-1}\}$ 所形成的线性基，tmp 数组代表线性基的每个位置上 $a$ 中数贡献的异或和，即注意每个基底可表示为 $a_{i_1}\oplus a_{i_2}\oplus \dots a_{i_p}\oplus b_{j_1}\oplus b_{j_2}\oplus b_{j_q}$，tmp 存的即为 $a_{i_1}\oplus a_{i_2}\oplus \dots a_{i_p}$。新插入数时 u 为当前 $b_i$ 剩下的值，cur 代表当前已异或上的 $a$ 中的数，便于更新。

class LinearBase{
public:
    ull base[64];
    LinearBase() { memset(base,0,sizeof(base)); }
    inline bool insert(ull x){
        Rev(i,63,0) if((x>>i)&1) { if(base[i]) x^=base[i]; else { base[i]=x; For(j,i+1,63) if((base[j]>>i)&1) base[j]^=base[i]; ; For(j,0,i-1) if((base[i]>>j)&1) base[i]^=base[j]; ; return true; } } ; return false;
    }
    inline bool count(ull x){
        Rev(i,63,0) if((x>>i)&1) { if(base[i]) x^=base[i]; else return false; } ; return true;
    }
    inline bool operator== (const LinearBase& rhs) { For(i,0,63) if(base[i]!=rhs.base[i]) return false; ; return true; }
    friend inline LinearBase Union(const LinearBase& A,const LinearBase& B){
        LinearBase C,tA=A; ull tmp[64]; memcpy(tmp,A.base,sizeof(tmp));
        For(i,0,63) if(B.base[i]){
            ull u=B.base[i],a=0; int ok=1;
            Rev(j,i,0) if((u>>j)&1){
                if(tA.base[j]) u^=tA.base[j],a^=tmp[j];
                else { ok=0; tA.base[j]=u; tmp[j]=a; break; }
            }
            if(ok) C.insert(a);
        }
        return C;
    }
};