讲题备用列表

CF1781G：树，构造，大力分讨： 贪心选择，证明合法

CF1774G：区间，计数，奇偶抵消，构造树形结构： 删除无效区间，其余选下一个，形成树形结构

CF1746E2：交互，缩小区间，dp 计算最优策略： 大约每次可减 1/4，充分利用上一次的询问，最后 dp 防止被卡

CF1672G：计数，推性质，构造二分图，图上取生成树技巧： 对于每个问号 \((i,j)\) 连接左 \(i\) 和右 \(j\)，形成图要求每个点连出边权异或和为 0，生成树技巧

CF1666K：网络流，最小割模型，拆点建图，重新赋边权技巧： \(SS=A,TT=B,ST=TS=C\) 即可。

CF1656H：构造，不断减小集合直至合法，minmax 性质缩小值域： 不断扔掉不合法的数直至合法，线段树维护是否合法，\(\gcd(\mathrm{lcm})\) 控制值域，不用高精

CF1638F：大力分讨，推性质： 分不交，包含，部分相交讨论

CF1621G：拆贡献，复杂度分析： 上升子序列总长度很容易算，考虑每个点后面最后一个大于它的位置减掉贡献，发现对每个位置只用处理 \([v_{i-1},v_i)\) 范围内的数，均摊 \(n\log n\)

CF1608F：dp，计数，mex 相关问题： \(f(i,j,k)\) 表示第 \(i\) 位，当前 \(\mathrm{mex}\) 值为 \(j\)，大于 \(\mathrm{mex}\) 的值等价类个数为 \(k\) 方案数，后两位和固定，前缀和优化

CF1603E：dp，上下界优化，性质转化，时间复杂度分析： \(f(mn,i,j,k)\) 表示最小值为 \(mn\)，剩下 \(i\) 个位置，当前超出 \(mn\) 的大小为 \(j\)，当前数大小为 \(mn+k\)。由于 \(mx\times mn\ge i\times mn\)，故 \(j\) 大小是 \(O(mn)\) 级别的。再发现 \(mn\le n-2\sqrt{n}\) 时一定无解，经过分析复杂度 \(O(n^3\sqrt{n})\)。

CF1656G（未实现）：魔怔构造： 先随便弄几个环，然后将环两两合并。

CF1598G：垃圾哈希： 发现较长那个数的 \(\mathrm{lcp}\) 要到与较短串只差 1 为止，做完了。

CF1578D：分形，推性质，巧妙构思题： 将斜线旋转 \(45^\circ\) 并缩小 \(\sqrt 2\) 倍贴到坐标轴上，坐标大致减半，发现第 \(1\) 条线方向永远为 \((0,0)\to (1,0)\to (1,1)\to (0,1)\to (0,0)\)，于是确定线的方向，递归处理，即可得假设在第一条线上的位置。因为某种原因，当且仅当递归到最后线段是在 \((0,0)\) 时找对线。（神仙题解做法看不懂）

CF1566H：交互，随机化，莫反，调整，数学，脑洞大开： 随便莫反得到 \(a'_x\) 为所有满足 \(y\) 将质因子去重后得到 \(x\) 的 \(a_y\) 异或和，于是变成若干个集合 \(S\)，每个集合选若干个数异或得 \(a'_i\)，要求一共恰好选 \(n\) 个数。每个集合构建线性基，不断逼近至 20 步以内，然后分集合大小各种微调即可。

CF1519F：爆搜，网络流，匹配，神秘，Hall 定理： 转化成 Hall 定理即选出若干条边，使得存在左部点到右部点的完美匹配，一种做法是直接爆搜（不会证？），题解做法记 \(f(f_1,f_2,\dots,f_6,i,j,r)\) 表示左部点流量分别为 \(f_1\sim f_6\)，当前处理到右部第 \(j\) 个点，左部第 \(i\) 个点，右部第 \(j\) 个点还剩 \(r\) 的流量。

CF1540D：数据结构，分块，线段树，复杂度分析，转化： 令 \(a_i\leftarrow i-a_i\)，整个过程变成 for(int i=x+1;i<=n;i++) if(ans>=a[i]) ans++;，分块维护进来 \(X\) 时出去为 \(x_X\)，每块只用维护 \(O(B)\) 个分界点，块内线段树支持单点 \(O(B)\) 修改，查询 \(O(n/B)\) 次暴力 upper_bound，复杂度 \(O(n\sqrt{n\log n})\)（有单根号做法不想写）

CF1517F：dp，转化，拆贡献，换思路方向： 对每个 \(R\) 考虑答案 \(<R\) 的方案数，那么每个未选的点半径为 \(R\) 能覆盖全集。令 \(f_{u,i,j}\) 表示 \(u\) 子树内最浅未选点深度为 \(i\)，最深未覆盖点深度为 \(j\)，发现如果 \(i\) 和 \(j\) 都有值，那么最终覆盖 \(j\) 的链会严格由于 \(i\) 这条链，于是 \(f_{u,i,j}\) 拆成 \(f_{u,i}\) 和 \(g_{u,j}\)，树形背包就单次 \(O(n^2)\) 了。（一开始的想法是钦定一些点必选，设 \(f_{u,i,j}\) 表示 \(u\) 子树内已选最深点为 \(i\)，伸进去的链长度至多为 \(j\)，怎么这个就没有决策覆盖呢/fn🤬）

CF1776K：多项式，近似，积分，期望和概率，\(\ln\&\exp\)： 对距离为 \(t\) 的人 \(k\) 次胜利的概率为 \([x^k]\frac{1}{t}\prod\limits_{i=0}^{t-1}(1+\frac{x}{i})\)，两边取 \(\ln\)，右边会有一个类似 \(\sum\limits_{i=a}^b k^{-i}\) 的东西，这个前缀预处理若干个项，后面用积分算。

CF1483E：交互，dp，决策点，毛估估就行： 倍增完 \(L\) 之后令 \(d=R-L\)，毛估估一下发现大概有 \(d<<L\)，于是考虑以当前钱数至少为 \(i\times L+d\) 来作为状态，设 \(F(d,j)\) 表示当前钱数至少为 \(j\times L+d\) 时需要的最小次数。由于 \(d\) 值域很大，因此考虑值域和定义域翻转，即令 \(f(i,j)\) 表示只用 \(i\) 次操作，钱数为 \(j*L+d\) 时，\(d\) 的最大值为多少。有转移 \(f(i,0)=f(i-1,1),f(i,j)=f(i-1,j-1)+f(i-1,j+1)\)，求得 \(f(50,0)>10^{14}\)，于是至多用 50 次。注意 \([L,R]\) 转移到 \([m,R]\) 时钱数由 \(j\times L+d\) 变成 \(j\times L+2m+d-m\) 而非 \((j+1)m+d-m\)，题解说这两者之差可以用至多 3 个初始 \(L\) 来补贴，没有证明！

CF1510H（未实现）：树上 dp，树上背包： （注意一个父区间选的区间可能是子孙中的一个子区间！口胡时没想到）设 \(f(u,l,r,k)\) 表示 \(u\) 节点，区间左/右端点是否将来会被覆盖，区间内将来还会选 \(k\) 个区间的最大值。合并子树时维护一个 \(r\) 表示当前右端点是否将来被盖即可，树形背包复杂度 \(O(n^2)\)。

CF1470E：时间复杂度分析，均摊，分叉点： 考虑每个询问至多被叉开 \(c\) 次，于是递归时暴力扫哪些询问会叉开，时间复杂度即正确。

CF1738H：PAM 回文串自动机，lazy tag 技巧： 发现删除一定在叶子结点，于是在叶子节点打当前最右位置标记并在叶子被删时向上推。

CF1740H：动态树链剖分，维护轻儿子技巧，以矩阵维动态 dp 技巧： 对每个点维护其轻儿子集合，得到一个三元组 \((x,y,z)\)，代表其重儿子为 \(x\) 时其值为 \(y\)，否则其值为 \(z\)。这个三元组支持合并，于是树剖维护并动态更新即可。

CF1737F：构造，大力分讨，放缩： 发现一个指数为 \(x\) 的就占了因数个数的 \(\frac{x-2}{x}\)，于是 \(x\le 3\)，判一判即可。

CF1726G：值域分治，质因数分解分治，容斥，大胆 dfs： 首先将答案容斥为 \(\sum \prod\limits_{p_i} C/p_1p_2\dots p_k\)，将质数分为 \(\le C\) 和 \(>C\) 两部分，\(\le C\) 的部分通过前缀和得出区间中有哪些，直接暴力 dfs + 记忆化搜索 + 容斥，复杂度无证明；\(>C\) 的部分发现即为 \(\sum\limits_{i=1}^{\lfloor C/p \rfloor} [\gcd(C/p,\prod a_i)=1]\)，只和 \(\lfloor C/p \rfloor\) 有关，于是莫队维护 \(\lfloor C/p \rfloor=x\) 的数量即可。