经典问题 1 —— DAG 上区间限制拓扑序

问题描述

给定一个 DAG，求一个拓扑序，使得节点 $i$ 的拓扑序 $\in [l_i,r_i]$。

题解

首先进行一个预处理：对于所有 $u$，令 $\forall (v,u)\in E, l_u\leftarrow \max(l_u,l_v+1),\forall (u,v)\in E, r_u\leftarrow \min(r_u,r_v-1)$。

也就是 $l_u$ 对任何可能的拓扑序的最小值取 $\max$，$r_u$ 同理。若此时有节点 $l_u>r_u$ 则无解。

将所有区间按 $r$ 端点排序，然后以 $l$ 端点为关键字插入大根堆中。从大到小依次考虑拓扑序 $i$ 应为哪个节点，将所有 $r_u\ge i$ 的节点插入堆中，然后取出 $l_u$ 最大的，若 $l_u>i$ 则显然无解，否则直接令 $topo_i=u$，弹堆。由贪心交换性质应该可以证明这是可能的最优情况，如果这样都无解那么一定无解。至于正确性，我们发现如果当前存在 $j>i$ 使得 $(topo_j,topo_i)\in E$，则会有 $l_{topo[i]}>l_{topo[j]}$，与每次取出 $l$ 最大的区间矛盾。