支配树🌴学习笔记
支配树：在 \(O(n\log n)\) 时间内求出一张有向图中能切断一个点到起点的所有路径的点
具体地，先定义一个起点 \(S\)（要求它能到达所有点），对于图中一个点 \(u\)，存在一些点 \(v\)，使得删去某个 \(v\) 后 \(S\) 无法走到 \(u\)，这些点 \(v\) 所组成的集合就是支配树上 \(u\) 到根的路径。特别地，\(u\) 的父亲就是离它最近的支配点。
一个很重要的性质：对于任意点 \(u\)，如果 \(x\) 支配 \(u\) 且 \(y\) 支配 \(u\)，则 \(x\) 与 \(y\) 之间存在支配关系。
证明显然。由此不难推出支配关系形成一棵树。
求支配树的方法：
1. DAG 上求支配树
按照拓扑序枚举所有点，对于一个点 \(u\)，所有能到达它的点的支配树已经求出， 于是我们枚举 \(u\) 的入点 \(v\)，找出它们在已求出的支配树上的 LCA，即为 \(u\) 的支配点（证明感性理解），然后将 \(u\) 加入支配树。
注意我们需要“动态”求这个 LCA，这问题不大，我们只需要每找到一个 \(u\) 的父亲时就立即更新它的倍增数组 fa[u][i] 即可。时间复杂度就 \(O(n\log n)\)。
2. 一般图上求支配树
我们发现在 DAG 上很好做，考虑将一般图鼓捣成一个 DAG 且支配关系不变。
用著名的 Tarjan 思想，我们先搜出一棵 dfs 树再说。立即发现一个点 \(u\) 的支配点一定在它的dfs树的祖先中。
同样 DAG 部分，这次我们按dfs序逆序对每个点 \(u\) 考虑它的所有入点 \(v\)，维护一个“半支配点”\(semi_u\)。
分两种情况：
- \(v\) 为 \(u\) 的祖先。
此时 \(v\) 能一步走到 \(u\)，所以从 \(v\) 到 \(u\) 的路径上所有其它点都不可能成为 \(u\) 的支配点（否则压根切不断），所以 \(u\) 的真实支配点应该在 \(v\) 上方，故用 \(v\) 更新 \(u\) 的半支配点。（这里的更新指取 dfs 序最小的作为答案） - \(v\) 为 \(u\) 的子孙。
此时我们考虑 \(u\) 到 \(v\) 的路径上所有点 \(w\) 以及它们的半支配点 \(semi_w\)，发现如果我们割的点在任意一个 \(semi_w\) 下方，那么从根就可以走路径 \(S\rightarrow semi_w\rightarrow w\rightarrow v\rightarrow u\) 到达 \(u\)，矛盾。因此用所有 \(w\) 的半支配点 \(semi_w\) 更新 \(u\) 的半支配点 \(semi_u\)。
画个图理解一下：
更新完毕后，我们就得到了每个点 \(u\) 的“半支配点”。“半支配点”的本质意义在于，\(u\) 的真实支配点一定在它的半支配点到根的路径上。因此只保留 dfs 树上的边以及新加入的 \(semi_u\rightarrow u\) 的边，整张图的支配关系不变。
于是我们只保留原 dfs 树中的边，将其它边统统删掉，然后对于每个 \(u\) 加入边 \(semi_u\rightarrow u\)，在这个新的只有 \(2(n-1)\) 条边的 DAG 上跑做法 1 即可。
现在只剩下怎么快速对一个点 \(v\) 找出 \(u\) 到 \(v\) 的路径上所有 \(w\) 的 \(semi_w\) 的 dfs 序最小值的问题了。
考虑维护每个点 \(v\) 已访问的祖先中 \(semi\) 的最小值 \(mn_v\)，查询时恰好就是查询 \(v\) 的 \(mn_v\)（因为 \(v\) 的祖先中第一个未访问的点就是 \(u\)）。用并查集维护，每次访问完一个节点 \(u\) 就被其父亲 \(fa_u\) 合并即可。时间复杂度 \(O(n\alpha(n))\) 或 \(O(n\log n)\)（我们都懒得写按秩合并对吧）。
总时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
上一个封装好的代码：（注意代码中 \(mn_u\) 直接写成了 semi[u]，所以必须在访问完一个 \(u\) 之后立即将其加入新图中）
Code
#include <bits/stdc++.h>
#define For(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Rev(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define Fin(file) freopen(file,"r",stdin)
#define Fout(file) freopen(file,"w",stdout)
using namespace std;
const int N=2e5+5; typedef long long ll;
class DominatorTree{
int n,dfn[N],raw[N],dfscnt,semi[N],fa[N],pa[N],ffa[N][18],dep[N],in[N];
vector<int> to[N],from[N],cp[N],cv[N];
void dfs(int u){
raw[dfn[u]=++dfscnt]=u; for(int v:to[u]) if(!dfn[v]) { cp[u].push_back(v); pa[v]=u; dfs(v); }
}
int getfa(int x){
if(x!=fa[x]) { int t=getfa(fa[x]); semi[x]=min(semi[x],semi[fa[x]]); fa[x]=t; } return fa[x];
}
int lca(int x,int y){
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
Rev(i,17,0) if(dep[ffa[x][i]]>=dep[y]) x=ffa[x][i];
if(x==y) return x;
Rev(i,17,0) if(ffa[x][i]!=ffa[y][i]) { x=ffa[x][i]; y=ffa[y][i]; }
return ffa[x][0];
}
public:
void init(int _n) { n=_n; }
void add_edge(int x,int y) { to[x].push_back(y); from[y].push_back(x); }
void solve(int* ans){
dfs(1); assert(dfscnt==n);
For(i,1,n) { fa[i]=i; semi[i]=dfn[i]; }
Rev(i,n,2){
int u=raw[i]; for(int w:from[u]) { getfa(w); semi[u]=min(semi[u],semi[w]); }
fa[u]=pa[u]; cp[raw[semi[u]]].push_back(u); // Must do it right now!
}
For(u,1,n) for(int v:cp[u]) { cv[v].push_back(u); in[v]++; }
static int q[N],h,t; h=t=0; q[t++]=1;
while(h<t){
int u=q[h++]; ans[u]=0;
for(int v:cv[u]) if(ans[u]==0) ans[u]=v; else ans[u]=lca(ans[u],v);
dep[u]=dep[ffa[u][0]=ans[u]]+1; For(i,1,17) ffa[u][i]=ffa[ffa[u][i-1]][i-1];
for(int v:cp[u]) if((--in[v])==0) q[t++]=v;
}
}
}T;
int n,m,ans[N],siz[N]; vector<int> son[N];
void dfs(int u) { siz[u]=1; for(int v:son[u]) { dfs(v); siz[u]+=siz[v]; } }
signed main(){
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
cin>>n>>m; T.init(n); For(i,1,m) { int x,y; cin>>x>>y; T.add_edge(x,y); } T.solve(ans);
// For(i,1,n) cerr<<ans[i]<<' '; cerr<<endl;
For(i,2,n) son[ans[i]].push_back(i);
dfs(1); For(i,1,n) cout<<siz[i]<<' '; cout<<endl;
cerr<<"Time = "<<clock()<<" ms\n";
return 0;
}
// START TYPING IF YOU DON'T KNOW WHAT TO DO
