ARC129E Yet Another Minimization 题解 【网络流笔记】
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超神的建模,极其有借鉴意义/cy
注:该建模对应于最小割建模
对于 \(n\) 个数,每个数有 \(m\) 种取值的技巧
\(\forall i=1,2,\dots,n\),令 \(S=V_{i,0}\rightarrow V_{i,1}\rightarrow \dots \rightarrow V_{i,m}=T\),也就是形成 \(n\) 条链。
此时,\(i\) 取值 \(j\) 时对应着切断边 \(V_{i,j-1}\rightarrow V_{i,j}\),因此这条边可以附上权值 \(c_{i,j}\)。
注意,这时候我们还要连一条 \(V_{i,j}\rightarrow V_{i,j-1}\) 的边,边权为 \(+\infty\)。理由如下:
我们会发现上面那条链断了 3 条边,由于有其它边的介入,左边跑到 \(T\) 一边了,右边跑到 \(S\) 一边了,这显然不符合我们的期望。
而加上无穷大的边后————
发现 \(S\) 和 \(T\) 连通了,显然与最小割不符。于是可以保证每条链左边属于 \(S\),右边属于 \(T\)。
另外,如果一条链断了 3 条边,则 3 条小链中必有两个同属于 \(S\) 或 \(T\),它们之间的边就没必要断了,与最小性不符。
至此,我们可以保证每条链恰好断一条边,其代价对应于选相应元素的代价,且左边属于 \(S\),右边属于 \(T\)。
处理不同数所选值之间关系的技巧
本题中要求对于数 \(i\) 和 \(j\),会产生 \(|x_i-x_j|\cdot W_{i,j}\) 的代价。
不妨设 \(x_i<x_j\)(反之类似),则代价即为 \(\sum\limits_a [x_i\le a<x_j] W_{i,j}\)。
于是考虑对每个 \(a\) 连一条代价为 \(W_{i,j}\) 的边。
对 \(x_i,x_j\) 进行归并排序,则相邻两个数之间的 \(a\) 可以合并,于是只有 \(O(m)\) 条边。
举一个 \(x_i\le a<x_j\) 的例子:
可以看到图中 \(x_2<y_3\),即 \(x_2\le a<y_3\),此时上面那条链可以切蓝色的边,下面那条链可以切紫色的边,于是此时是从 \(y_2\) 向 \(x_2\) 连一条边,边权为 \(y_3-x_2\)。
注意一下谁往谁连边即可,注意权值差也有可能是 \(x_k-x_{k-1}\),需要取一个 \(\max\)。