ARC129E Yet Another Minimization 题解 【网络流笔记】

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超神的建模，极其有借鉴意义/cy
注：该建模对应于最小割建模

对于 $n$ 个数，每个数有 $m$ 种取值的技巧

$\forall i=1,2,\dots,n$，令 $S=V_{i,0}\rightarrow V_{i,1}\rightarrow \dots \rightarrow V_{i,m}=T$，也就是形成 $n$ 条链。
此时，$i$ 取值 $j$ 时对应着切断边 $V_{i,j-1}\rightarrow V_{i,j}$，因此这条边可以附上权值 $c_{i,j}$。
注意，这时候我们还要连一条 $V_{i,j}\rightarrow V_{i,j-1}$ 的边，边权为 $+\infty$。理由如下：

我们会发现上面那条链断了 3 条边，由于有其它边的介入，左边跑到 $T$ 一边了，右边跑到 $S$ 一边了，这显然不符合我们的期望。

而加上无穷大的边后————

发现 $S$ 和 $T$ 连通了，显然与最小割不符。于是可以保证每条链左边属于 $S$，右边属于 $T$。

另外，如果一条链断了 3 条边，则 3 条小链中必有两个同属于 $S$ 或 $T$，它们之间的边就没必要断了，与最小性不符。

至此，我们可以保证每条链恰好断一条边，其代价对应于选相应元素的代价，且左边属于 $S$，右边属于 $T$。

处理不同数所选值之间关系的技巧

本题中要求对于数 $i$ 和 $j$，会产生 $|x_i-x_j|\cdot W_{i,j}$ 的代价。

不妨设 $x_i<x_j$（反之类似），则代价即为 $\sum\limits_a [x_i\le a<x_j] W_{i,j}$。

于是考虑对每个 $a$ 连一条代价为 $W_{i,j}$ 的边。

对 $x_i,x_j$ 进行归并排序，则相邻两个数之间的 $a$ 可以合并，于是只有 $O(m)$ 条边。

举一个 $x_i\le a<x_j$ 的例子：

可以看到图中 $x_2<y_3$，即 $x_2\le a<y_3$，此时上面那条链可以切蓝色的边，下面那条链可以切紫色的边，于是此时是从 $y_2$ 向 $x_2$ 连一条边，边权为 $y_3-x_2$。

注意一下谁往谁连边即可，注意权值差也有可能是 $x_k-x_{k-1}$，需要取一个 $\max$。