特征多项式小记
一个矩阵的特征多项式,为 $det(A-Iz)$,这是一个关于 $z$ 的 $n$ 次多项式。
求的时候的注意点:
1. 消元形成上海森堡矩阵,即对于 $i=2,3,\dots,n,j \leq i-1,a[i][j]=0$。
形象一点:
X X X X X
X X X X X
0 X X X X
0 0 X X X
0 0 0 X X
2. 记住伴随矩阵,即令 $B=MAM^{-1}$,则 $B$ 与 $A$ 的特征多项式相同(不用理解这一定理,死记)。
3. 记住类高斯消元法,消成上海森堡矩阵。
怎么做?每次用 $a[i+1][i]$ 去消 $a[j][i]$,在将第 $j$ 行减去 $r$ 倍第 $i+1$ 行的同时,将第 $i+1$ 列加上 $r$ 倍第 $j$ 列。(似乎也是死记硬背的结论)
同时,对换第 $i+1$ 行与第 $j$ 行的同时,对换第 $i+1$ 列与第 $j$ 列。
注意辗转消元对换不用记录 sgn,因为每次都会换一行再换一列,符号不变。
注意 $j$ 从 $i+2$ 开始循环。
注意 $k$ 都要从 $1$ 而不是 $i$ 开始循环,因为你有时候要处理的是列。