P5024 [NOIP2018 提高组] 保卫王国
思路：
首先想到每次询问两个点后就从这两个点开始往上爬，沿路更新 dp 值即可。
#include <bits/stdc++.h>
#define For(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Rev(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define clr(a,v) memset(a,v,sizeof(a))
#define Freopen(file) \
freopen(file".in","r",stdin); \
freopen(file".out","w",stdout);
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+5;
string CharlieVinnie;
int n,Q,a[N];
vector<int> to[N];
int fa[N],dep[N];
int f[N][2],g[N][2];
set<int> got[N];
void dfs(int u,int pa)
{
fa[u]=pa;
dep[u]=dep[pa]+1;
f[u][0]=0;
f[u][1]=a[u];
int sz=to[u].size();
For(i,0,sz-1){
int v=to[u][i];
if(v==pa) continue;
dfs(v,u);
f[u][0]+=f[v][1];
f[u][1]+=min(f[v][0],f[v][1]);
}
}
int lca(int x,int y)
{
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
while(dep[x]>dep[y]) x=fa[x];
while(x!=y){
x=fa[x];
y=fa[y];
}
return x;
}
int read()
{
char ch;
while((ch=getchar())<'0'||ch>'9') ;
int x=ch-'0';
while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
return x;
}
signed main()
{
// ios::sync_with_stdio(false);
// cin.tie(0);
// cout.tie(0);
// cin>>n>>Q>>CharlieVinnie;
n=read();
Q=read();
cin>>CharlieVinnie;
// For(i,1,n) cin>>a[i];
For(i,1,n) a[i]=read();
For(i,1,n-1){
int x,y;
x=read();
y=read();
// cin>>x>>y;
to[x].push_back(y);
to[y].push_back(x);
got[x].insert(y);
got[y].insert(x);
}
dfs(1,0);
while(Q--){
int x,tx,y,ty;
// cin>>x>>tx>>y>>ty;
x=read();
tx=read();
y=read();
ty=read();
if(tx==0&&ty==0&&got[x].count(y)){
puts("-1");
continue;
}
if(x==y&&tx!=ty){
puts("-1");
continue;
}
if(dep[x]<dep[y]){
swap(x,y);
swap(tx,ty);
}
int z=lca(x,y);
if(x!=z&&y!=z){
g[x][tx]=f[x][tx];
g[x][tx^1]=1e14;
g[y][ty]=f[y][ty];
g[y][ty^1]=1e14;
while(fa[x]!=z){
int fx=fa[x];
g[fx][0]=f[fx][0]-f[x][1]+g[x][1];
g[fx][1]=f[fx][1]-min(f[x][0],f[x][1])+min(g[x][0],g[x][1]);
x=fx;
}
while(fa[y]!=z){
int fy=fa[y];
g[fy][0]=f[fy][0]-f[y][1]+g[y][1];
g[fy][1]=f[fy][1]-min(f[y][0],f[y][1])+min(g[y][0],g[y][1]);
y=fy;
}
g[z][0]=f[z][0]-f[x][1]+g[x][1]-f[y][1]+g[y][1];
g[z][1]=f[z][1]-min(f[x][0],f[x][1])+min(g[x][0],g[x][1])-min(f[y][0],f[y][1])+min(g[y][0],g[y][1]);
}
else{
g[x][tx]=f[x][tx];
g[x][tx^1]=1e14;
while(x!=z){
int fx=fa[x];
g[fx][0]=f[fx][0]-f[x][1]+g[x][1];
g[fx][1]=f[fx][1]-min(f[x][0],f[x][1])+min(g[x][0],g[x][1]);
x=fx;
}
g[z][ty^1]=1e14;
}
while(z!=1){
int fz=fa[z];
g[fz][0]=f[fz][0]-f[z][1]+g[z][1];
g[fz][1]=f[fz][1]-min(f[z][0],f[z][1])+min(g[z][0],g[z][1]);
z=fz;
}
cout<<g[1][0]<<' '<<g[1][1]<<endl;
int ans=min(g[1][0],g[1][1]);
// if(ans!=1e14) cout<<ans<<endl;
// else cout<<-1<<endl;
printf("%lld\n",ans);
// if(ans!=1e14)
// else puts("-1");
}
return 0;
}
然后就是怎么优化这一过程。
原来是想着直接暴力推公式找规律，然后就开始写。
发现如果令 $f[x][1] \geq f[x][0]$ 恒成立的话转移方程很漂亮，于是就“如果 $f[x][1] < f[x][0]$，也就是放人比不放还赚，于是不妨设放人，即 $f[x][0]=\min(f[x][0],f[x][1])$”
写完一测样例就错了。
原因是国王会要求在某个点不放人，所以“放人比不放还赚”不成立。
正确的思路是：
假设一开始 dp 出来的结果为 $f[x][0/1]$，询问过程中的新 dp 结果为 $g[x][0/1]$。
可以发现 $g[x][0/1]$ 到 $g[fx][0/1]$ 的转移可以表示为 $g[fx][0/1]=min(g[x][0]+c0,g[x][1]+c1)$，其中 $c0,c1$ 为一个表达式。
于是就用广义矩阵乘法优化，树上倍增的事情也解决了。
最终代码：
#include <bits/stdc++.h>
#define For(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Rev(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define clr(a,v) memset(a,v,sizeof(a))
#define Freopen(file) \
freopen(file".in","r",stdin); \
freopen(file".out","w",stdout);
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+5;
// let df[x]=f[x][1]-f[x][0]
//
// d[x][0]=g[x][0]-f[x][0]
// d[x][1]=g[x][1]-f[x][1]
//
// d[fx][0]=d[x][1]=min(d[x][0]+inf,d[x][1]+0)
// d[fx][1]=min(f[x][0]+d[x][0],f[x][1]+d[x][1])-min(f[x][0],f[x][1])
// =min(d[x][0],(f[x][1]-f[x][0])+d[x][1])-min(0,f[x][1]-f[x][0])
// =min(d[x][0]-min(0,df[x]),d[x][1]+df[x]-min(0,df[x]))
//
// [ inf , -min(0,df[x]) ]
// [ 0 , df[x]-min(0,df[x]) ]
struct Matrix{
int a[2][2];
Matrix()
{
clr(a,0x3f);
}
friend Matrix operator* (const Matrix& x,const Matrix& y)
{
Matrix z;
For(i,0,1){
For(j,0,1){
For(k,0,1){
z.a[i][j]=min(z.a[i][j],x.a[i][k]+y.a[k][j]);
}
}
}
return z;
}
};
string CharlieVinnie;
int n,Q,a[N];
vector<int> to[N];
int fa[N][21],dep[N];
int f[N][2],df[N];
Matrix mat[N][21];
int read()
{
char ch;
while((ch=getchar())<'0'||ch>'9') ;
int x=ch-'0';
while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
return x;
}
void dfs(int u,int pa)
{
fa[u][0]=pa;
dep[u]=dep[pa]+1;
f[u][0]=0;
f[u][1]=a[u];
int sz=to[u].size();
For(i,0,sz-1){
int v=to[u][i];
if(v==pa) continue;
dfs(v,u);
f[u][0]+=f[v][1];
f[u][1]+=min(f[v][0],f[v][1]);
}
df[u]=f[u][1]-f[u][0];
}
int lca(int x,int y)
{
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
Rev(i,20,0){
if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i];
}
if(x==y) return x;
Rev(i,20,0){
if(fa[x][i]!=fa[y][i]){
x=fa[x][i];
y=fa[y][i];
}
}
return fa[x][0];
}
void moveup(int& x,int z,int& dx0,int& dx1)
{
Matrix res;
res.a[0][0]=res.a[1][1]=0;
Rev(k,20,0){
if(dep[fa[x][k]]>dep[z]){
res=res*mat[x][k];
x=fa[x][k];
}
}
int t0=dx0,t1=dx1;
dx0=min(t0+res.a[0][0],t1+res.a[1][0]);
dx1=min(t0+res.a[0][1],t1+res.a[1][1]);
}
signed main()
{
n=read();
Q=read();
cin>>CharlieVinnie;
For(i,1,n) a[i]=read();
For(i,1,n-1){
int x,y;
x=read();
y=read();
to[x].push_back(y);
to[y].push_back(x);
}
dfs(1,0);
For(i,1,n){
mat[i][0].a[0][0]=1e14;
mat[i][0].a[0][1]=-min(0ll,df[i]);
mat[i][0].a[1][0]=0;
mat[i][0].a[1][1]=df[i]-min(0ll,df[i]);
}
For(j,1,20){
For(i,1,n){
fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
mat[i][j]=mat[i][j-1]*mat[fa[i][j-1]][j-1];
}
}
while(Q--){
int x,tx,y,ty;
x=read();
tx=read();
y=read();
ty=read();
if(dep[x]<dep[y]){
swap(x,y);
swap(tx,ty);
}
if(tx==0&&ty==0&&fa[x][0]==y){
puts("-1");
continue;
}
if(x==y&&tx!=ty){
puts("-1");
continue;
}
int z=lca(x,y);
int dz0=0,dz1=0;
if(y!=z){
int dx0=0,dx1=0;
if(tx==0) dx1=1e14;
else dx0=1e14;
moveup(x,z,dx0,dx1);
int dy0=0,dy1=0;
if(ty==0) dy1=1e14;
else dy0=1e14;
moveup(y,z,dy0,dy1);
dz0=dx1+dy1;
dz1=min(dx0-min(0ll,df[x]),dx1+df[x]-min(0ll,df[x]))+min(dy0-min(0ll,df[y]),dy1+df[y]-min(0ll,df[y]));
}
else{
int dx0=0,dx1=0;
if(tx==0) dx1=1e14;
else dx0=1e14;
moveup(x,fa[z][0],dx0,dx1);
dz0=dx0;
dz1=dx1;
if(ty==0) dz1=1e14;
else dz0=1e14;
}
moveup(z,0,dz0,dz1);
printf("%lld\n",min(f[1][0]+dz0,f[1][1]+dz1));
}
return 0;
}
