知识点 - 随笔分类 - CharlieVinnie

摘要：## 二元线性规划问题转网络流：对于

n

$n$ 个变量

x_{i}

$x_i$ ，限制形如

x_{i} - x_{j} \geq b

$x_i-x_j\ge b$ 或

x_{i} \geq b

$x_i\ge b$ 或

x_{i} \leq b

$x_i\le b$ ，求

\sum c_{i} x_{i}

$\sum c_ix_i$ 的最小值，可以转化成上下界最大费用流求解。首先重温线性规划问题的一般形式（之一）： $$ \begin{al 阅读全文

posted @ 2023-05-23 22:48 CharlieVinnie 阅读(225) 评论(0) 推荐(1) 编辑

神秘算法 —— 线性基求交

摘要：线性基求交：设

A, B

$A,B$ 为两个线性基，

V_{A}, V_{B}

$V_A,V_B$ 分别为其生成空间，则

V_{C} = V_{A} \cap V_{B}

$V_C=V_A\cap V_B$ 是一个线性空间，称

A

$A$ 与

B

$B$ 两个线性基的交为

C

$C$ 。首先证明

V_{C}

$V_C$ 是一个线性空间。其实很显然，对于任意 \(x,y\in V_C 阅读全文

posted @ 2023-02-02 08:48 CharlieVinnie 阅读(578) 评论(3) 推荐(3) 编辑

支配树🌴学习笔记

摘要：支配树：在

O (n \log n)

$O(n\log n)$ 时间内求出一张有向图中能切断一个点到起点的所有路径的点具体地，先定义一个起点

S

$S$ （要求它能到达所有点），对于图中一个点

u

$u$ ，存在一些点

v

$v$ ，使得删去某个

v

$v$ 后

S

$S$ 无法走到

u

$u$ ，这些点

v

$v$ 所组成的阅读全文

posted @ 2022-10-07 22:46 CharlieVinnie 阅读(496) 评论(3) 推荐(1) 编辑

反悔贪心小记🐣

摘要：反悔贪心：在确保能反悔以贴合全局最优解的前提下，选择局部最优解（理论上来说，这种算法要建出费用流模型才能保证正确性，但是。。）不好说，上例题： P7219 [JOISC2020] 星座 3 首先发现每个

y

$y$ 坐标小的点会对其上方的一个矩形形成限制，就是不能同时存在点。我们对每个点记录它被限制阅读全文

posted @ 2022-07-16 10:41 CharlieVinnie 阅读(76) 评论(6) 推荐(1) 编辑

拉格朗日乘子法小记🐤

摘要：拉格朗日乘子法：计算多变量函数最值设要优化的函数为

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ ，有限制

g (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = 0

$g(x_1,x_2,\dots,x_n)=0$ 。凭空引入拉格朗日乘子

λ

$\lambda$ ，令 $h(x_1,x_2,\dots,x_n)=f(x_1,x_2,\dots,x_n)+\la 阅读全文

posted @ 2022-07-11 18:10 CharlieVinnie 阅读(49) 评论(0) 推荐(0) 编辑

后缀自动机+后缀树小记（重！）🐥

摘要：后缀自动机：可以接受一个字符串

s

$s$ 的所有子串的自动机后缀树：将一个字符串的所有后缀编成一个**压缩**后的 Trie 后缀自动机性质： 1. 由不超过

2 n - 1

$2n-1$ 个点构成（所以数组要开2倍） 2. 每个节点是个 endpos 集合，表示其中所有字符串在

s

$s$ 中结束的位置的集合 3. 阅读全文

posted @ 2022-03-09 11:45 CharlieVinnie 阅读(115) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线段树历史区间最值小记🐤

摘要：线段树历史区间最值：支持区间加法，询问区间内历史上的最大值，清空历史不要草率！！！比看上去的要难无数倍！！！注意事项： 1. 一定要记录两个标记

t a g

$tag$ 和

m x t a g

$mxtag$ ，分别为“区间加标记”和“区间最大加标记”（后者也可以理解为这个区间内所有来过的加标记的前缀最大值） 2. 正确的 pu 阅读全文

posted @ 2022-02-02 19:43 CharlieVinnie 阅读(133) 评论(0) 推荐(0) 编辑

分治FFT小记🐤

摘要：分治FFT：在

O (n \log^{2} n)

$O(n \log^2 n)$ 的时间内求出类似于

f_{i} = \sum_{j = 0}^{i - 1} g (i - j) f (j)

$f_i=\sum\limits_{j=0}^{i-1}g(i-j)f(j)$ 之类的递推式思想：同 CDQ 分治的思想，先分成左半边和右半边，先处理左半边，然后计算左半边对右半边的影响，最后处理右半边。注意事项： 1. 不是所阅读全文

posted @ 2022-01-30 22:06 CharlieVinnie 阅读(66) 评论(0) 推荐(0) 编辑

小Min_25筛小记🐤

摘要：这里的小Min_25筛，可以筛出

10^{1} 1

$10^11$ 以内所有质数的完全积性函数之和注意事项： 1. cmd 的题解里面下标写得不清楚，应该是

S^{'} (p_{k} - 1, k - 1)

$S'(p_k-1,k-1)$ 而不是

S^{'} (p_{k - 1}, k - 1)

$S'(p_{k-1},k-1)$ ，调了1hrswwwwww 2. 不需要预处理质数，通过 $res1[i]==res 阅读全文

posted @ 2022-01-28 22:09 CharlieVinnie 阅读(45) 评论(0) 推荐(0) 编辑

势函数算法小记🐤

摘要：势函数：对

i = [1, n]

$i=[1,n]$ 自定义

f (i)

$f(i)$ ，使得每一步势能变化期望 +1/-1，通过求初态与终态的势能差求期望步数注意：这里的

f (i)

$f(i)$ 是可以自拟的，即只要满足每一步势能变化期望为 +1/-1 即可！所以说，这本质上是通过人类智慧定义这么一个函数！常见形式：$\sum\limi 阅读全文

posted @ 2022-01-23 08:30 CharlieVinnie 阅读(305) 评论(1) 推荐(0) 编辑

KD-Tree 小记🐤

摘要：KD-Tree，是用来维护一个空间（其实一般是平面）中的信息的数据结构。以下就 2D-Tree 进行讨论。（盲猜并不会考 3D 及以上）思想：将一个大矩形以一种方式划分成若干个小矩形，然后询问时只查询与询问矩形有交的小矩形。每次轮流砍开 x 坐标和 y 坐标，分成左右点的个数相等的两半。注意阅读全文

posted @ 2022-01-18 15:58 CharlieVinnie 阅读(42) 评论(0) 推荐(0) 编辑

特征多项式小记

摘要：一个矩阵的特征多项式，为

d e t (A - I z)

$det(A-Iz)$ ，这是一个关于

z

$z$ 的

n

$n$ 次多项式。求的时候的注意点： 1. 消元形成上海森堡矩阵，即对于

i = 2, 3, \dots, n, j \leq i - 1, a [i] [j] = 0

$i=2,3,\dots,n,j \leq i-1,a[i][j]=0$ 。形象一点： X X X X X X X X X X 0 X X X X 阅读全文

posted @ 2022-01-15 17:44 CharlieVinnie 阅读(158) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LCT小记

摘要：不用说了，直接上怎么 die（千万不要和 Treap 一样写左旋 zig 和右旋 zag，莫名死亡。Splay 只支持一个 rotate 上旋一个节点即可。 splay() 之前记得弄一个栈存储 u 到根的 splay 路径，倒序把 flip 标记全部推下来。 access() 中 u 在往上爬的阅读全文

posted @ 2021-12-23 20:59 CharlieVinnie 阅读(26) 评论(0) 推荐(1) 编辑

指数型生成函数小记

摘要：面对“

n

$n$ 个数中选

k

$k$ 个数”之类的问题，脑子里第一个想到指数型生成函数。重要技巧：进行一个游戏，进行的期望次数=Σ（进行 i 次还没有停止的概率）。证明：阿贝尔变换即可。于是就可以设

P (i)

$P(i)$ 为进行

i

$i$ 次的概率，令 $F(z)=\sum\limits_{i \geq 0} 阅读全文

posted @ 2021-12-19 21:53 CharlieVinnie 阅读(67) 评论(0) 推荐(0) 编辑

论杜教筛

摘要：杜教筛：在

O (n^{2 / 3})

$O(n^{2/3})$ 的时间内求出积性函数

f (x)

$f(x)$ 的前缀和。注意事项： 1. 线性预处理

n^{2 / 3}

$n^{2/3}$ 内的所有

f

$f$ 的值再开始筛。 2. 一定要用一个数组（而不是 map）来记忆化，对于所有

d

$d$ 记忆

n / d

$n/d$ 处的

f

$f$ 前缀和。 3. 如果有多次询问阅读全文

posted @ 2021-12-15 23:12 CharlieVinnie 阅读(28) 评论(0) 推荐(0) 编辑

FFT 傅里叶万岁

摘要：FFT Fast Foulier Transformation 以

O (n \log n)

$O(n \log n)$ 的速度计算

\forall k = 1, 2, \dots, n, c [k] = \sum_{i = 0}^{k} a [i] b [k - i]

$\forall k=1,2,\dots,n, c[k]=\sum\limits_{i=0}^{k} a[i]b[k-i]$ **command_block 大神's blog** 记住，要阅读全文

posted @ 2021-12-07 20:34 CharlieVinnie 阅读(39) 评论(0) 推荐(0) 编辑

长链剖分

摘要：所谓长链剖分，就是给每个节点标记一个深度最深的长儿子。长链剖分的优势：对于可以

O (1)

$O(1)$ 从一个儿子继承所有所需信息的 dp，用长链剖分，更新时直接

O (1)

$O(1)$ 继承长儿子的信息，其余儿子的信息暴力继承即可。时间复杂度 $O(\sum\limits_{u} \sum\limits_{v \ 阅读全文

posted @ 2021-11-30 20:50 CharlieVinnie 阅读(41) 评论(0) 推荐(0) 编辑

拉格朗日插值

摘要：特别适用于背包类问题，尤其是树上背包。若出现 $f_{u,i}=\sum\limits_{v_1,v_2, \dots,v_{s} \in son(u)} \sum\limits_{j_1+j_2+ \dots +j_{s}=i} {f_{v_1,j_1}f_{v_2,j_2}\dots f_{v 阅读全文

posted @ 2021-11-30 20:31 CharlieVinnie 阅读(41) 评论(0) 推荐(1) 编辑

李超树

摘要：李超树是一种可以动态插入直线并支持查询一个x坐标处最大值的数据结构。实现时，注意不要判断两直线的交点与

m i d

$mid$ 的关系，而是要判断区间两端点处两直线

y

$y$ 坐标的关系。否则当交点为

m i d

$mid$ 时极易出错。阅读全文

posted @ 2021-11-18 21:26 CharlieVinnie 阅读(76) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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