树状数组

树状数组

利用二进制的一些性质使得区间修改、区间查询效率达到log的数据结构

• lowbit

  lowbit(x)求出二进制x中末尾的1

  公式：lowbit(x)=x&-x;

  举个例子：

  
  计算时用补码，正数的补码是其原码，负数的补码是反码+1
          14(00001110)
        &-14(11110010)
        _______________
             00000010
  

• 特殊性质

树状数组的节点c[i]一般用来表示a[i-lowbit(i)+1]到a[i]的和，c[i]的父亲节点为c[i+lowbit(i)]

树状数组

显然一个节点并不一定是代表自己前面所有元素的和。只有满足 2^n这样的数才代表自己前面所有元素的和。

• 操作

1.单点修改

假设修改a[x]，由于树状数组要修改若干个连续数的和，修改了a[x]之后，c[x]--c[n]可能也会发生变化，因此要向上更新。

假设a[x]增加了x，则sum[x]-- sumn均增加了x，所以只要把增量向上更新即可。

void update(int id,int x){//点的编号 增量
    while(id<=n){
        c[id]+=x;
        id+=lowbit(id);//到达父亲节点
    }
}

2.单点查询

假设要求出a[1]---a[x]的和，根据lowbit的性质，a[x]的子节点为a[x-lowbit(x)]，一直向下查询，直到x减到零为止

int query(int x){
    int res=0;
    while(x){
        res+=c[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return res;
}

3.区间修改单点查询

引入一插值数组b，定义b[i]=a[i]-a[i-1]，用b[i]建立树状数组。对于每一个a[i]，都有a[i]=b[1]+b[2]+...+b[i],前缀和查询就相当于单点查询

设要求把x--y加上data，则x--y之间的差值不变，1--x-1之间的差值不变，y+2--n之间的差值不变，b[x]=a[x]+data-a[x-1]，b[y+1]=a[y+1]-(a[y]+data),只需要把这两个值更新即可

易错点
设要求把x--y加上data，不能写成update(x,data);update(y+1,data)（这里树状数组维护的原数组）,这样只是修改了两个端点，中间的值没有修改

4.区间修改区间查询

sum[i]=a1+a2+a3+a4+..+a[i]

=b[1]+(b[1]+b[2])+(b[1]+b[2]+b[3])+...+(b[1]+b[2]+b[3]+...+b[i])

=i * b[1]+(i-1)* b[2]+(i-2)* b[3]+...+2 * b[i-1]+b[i]

=i * (b[1]+b[2]+b[3]+...+b[i])-(0 * b[1]+1 * b[2]+2 *b [3]+...+ (i-1) * b[i])

用一个数组c1维护b[i]，另一个c2维护(x-1)*b[i]

答案为i* query(i,c1)-query(i,c2)

void update(int x,long long data){
     int i=x;
     while(i<=n){
         c[i]+=data;
         c2[i]+=(x-1)*data;
         i+=lowbit(i);
     }
}
long long query(int x){
     long long ans=0;
     int i=x;
     while(i>0){
         ans+=c[i]*x-c2[i];
         i-=lowbit(i);
     }
     return ans;
}

二维树状数组

c[i][j]维护以(i,j)为左下角的宽为lowbit(i),长为lowbit(j)的矩阵内元素之和（具体视情况）

1.单点修改，区间查询

void update(int x,int y,int data){
  for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
      for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j)){
          c[i][j]+=data;
      }
  }
}
int query(int x,int y){
  int ans=0;
  for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
      for(int j=y;j;j-=lowbit(j)){
          ans+=c[i][j];
      }
  }
  return ans;
}

假设要求左下s角坐标为(a,b)到右上角(c,d)矩阵的和，令sum[i][j]表示(1,1)到右上角为(i,j)矩阵元素之和，则所求矩阵元素和为sum[c][d]-sum[a-1][d]-sum[c][d-1]+sum[a-1][b-1]

即ans=query(c,d)-query(c,b-1)-query(a-1,d)+query(a-1,b-1);

2.区间修改单点查询

仍要引入一差分数组。

由于数组a[i][j]的前缀和有这样的公式：

　　sum[i][j]=(sum[i−1][j]+sum[i][j−1]−sum[i−1][j−1])+a[i][j]

套用求前缀和的形式，假设差分数组为d[i][j]，可以有：

　　a[i][j]=(a[i−1][j]+a[i][j−1]−a[i−1][j−1])+d[i][j]

就能得到：

　　d[i][j]=a[i][j]−(a[i−1][j]+a[i][j−1]−a[i−1][j−1])

假设要给(x1,y1)到(x2,y2)的矩阵全部加上x，差分数组变动的只有:
d[x1][y1]+=x,d[x1][y2+1]-=x,d[x2+1][y1]-=x;d[x2+1][y2+1]+=x;