SPFA
算法介绍:
SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford算法的一种队列实现,减少了不必要的冗余计算。
算法流程:
算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素,并对所有与他相邻的点进行松弛,若某个相邻的点松弛成功,则将其入队。 直到队列为空时算法结束。
维护一个队列,里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。
每次迭代,取出队头的点v,依次枚举从v出发的边v->u,设边的长度为len,判断Dist[v]+len是否小于Dist[u],若小于则改进Dist[u],将Fa[u]记为v,并且由于S到u的最短距离变小了,有可能u可以改进其它的点,所以若u不在队列中,就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空,也就是S到所有的最短距离都确定下来,结束算法。
若一个点入队次数超过n,则有负权环。
//P2850Wormholes G如果农场里有负环则一定可以穿越回出发时刻之前
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxm=3000*2+5,maxn=500+5;
struct Edge{
int to,next,dis;
}e[maxm];
int F,n,m,W,len,head[maxn];
void Insert(int x,int y,int dis){
e[++len].to=y;
e[len].dis=dis;
e[len].next=head[x];
head[x]=len;
}
int d[maxn];//d[i]i到st的最短距离
int cnt[maxn];//cnt[i]i入队的次数,如果超过maxk则说明有负环
bool vis[maxn];//用于记录有没有在队列里
bool spfa(int st){
for(int i=1;i<=n;++i)d[i]=0x3f3f3f3f;
for(int i=1;i<=n;++i)cnt[i]=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
queue<int>q;
q.push(st);
cnt[st]++;
d[st]=0;
vis[st]=1;
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
vis[x]=0;
for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
int v=e[i].to;
if(d[v]>d[x]+e[i].dis){
d[v]=d[x]+e[i].dis;
if(!vis[v]){//如果x可以更新v 则v入队
q.push(v);vis[v]=1;
cnt[v]++;
if(cnt[v]>n){
return 1;
}
}
}
}
}
return 0;
}
void work(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&W);
int st=0;len=0;
memset(head,0,sizeof(head));
for(int i=1;i<=m;++i){
int x,y,dis;
if(!st)st=x;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&dis);
Insert(x,y,dis);Insert(y,x,dis);
}
for(int i=1;i<=W;++i){//处理虫洞
int x,y,dis;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&dis);
Insert(x,y,-dis);
}
if(spfa(1)){
printf("YES\n");
}
else {
printf("NO\n");
}
}
int main(){
scanf("%d",&F);
while(F--)
work();
return 0;
}
SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似,不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列,但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列,也就是一个点改进过其它的点之后,过了一段时间可能本身被改进,于是再次用来改进其它的点,这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k,有办法证明对于通常的情况,k在2左右。
在实际的应用中SPFA的算法时间效率不是很稳定,为了避免最坏情况的出现,通常使用效率更加稳定的Dijkstra算法。
https://www.cnblogs.com/Jason-Damon/p/3787756.html
update2022.1.16
关于堆优化dijistra不能求最长路,spfa诈尸
dijistra本身基于贪心思想,如果是最短路,局部的最优解 一定是全局最优解的一部分,而最长路不一样,局部最优解不一定是全局最优解。
求最长路还是要用spfa(改成负边权跑最短路),由于spfa可以反复更新,可以保证答案的正确性,但愿最长路不会卡spfa
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