欧几里得&扩展欧几里得算法

朴素的欧几里得算法大家应该知道

\(gcd(a,b)\)表示a,b的最大公约数
朴素的欧几里得算法其实就是所谓的辗转相除法

• 辗转相除法
  \(gcd(a,b)=gcd(b,a\) \(mod\) \(b)\)
  证明如下：
  \(设r=a\) \(mod\) \(b\) \(=a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b\),\(p=gcd(a,b)\);
  则$$a=xp,b=yp$$
  代入可得$$r=xp-\lfloor\frac{xp}{yp}\rflooryp$$
  提公因式得$$r=p(x-\lfloor\frac{xp}{yp}\rfloory)$$
  所以$$p|r$$
  即$$a,b的最大公约数也是r的约数$$
  设\(p`=gcd(b,r)\)
  则$$b=xp,r=yp$$

\[a=r+\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b \]

代入得$$a=yp+\lfloor\frac{a}{b}\rfloorxp$$
提公因式$$a=p(y+\lfloor\frac{a}{b}\rfloorx)$$ 所以$$p|a$$
得出结论：a,b与b,a mod b的公约数相同，所以最大公约数也相同
得证；

Code：

int gcd(int a,int b) 
{
    if(!b) return a; 
    else return gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法就是在朴素的欧几里得算法上求一组未知数(x,y)的解，满足贝祖定理:\(ax+by=gcd(a,b)\)

• 公式的推导
  当且仅当\(a>b\)
  ①\(b=0\) 则\(x=1,y=0\)
  ②\(a>b>0\)
  设\(ax1+by1=gcd(a,b);bx2+(a\) \(mod\) \(b)y2=gcd(b,a\) \(mod\) \(b)\)
  由朴素欧几里得算法得：\(gcd(a,b)=gcd(b,a\) \(mod\) \(b)\)
  所以\(ax1+by1=bx2+(a\) \(mod\) \(b)y2\)
  即\(ax1+by1=bx2+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b)y2\)
  化简得：\(ax1+by1=bx2+ay2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b*y2\)
  由贝祖等式得\(\left\{\begin{array}\\x1=y2\\{y1=x2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b} \end{array}\right.\)

Code:

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 
{
    if(b==0) 
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;
    x=y;y=z-a/b*y;
    return r;
}

扩展欧几里得应用

①解不定方程
②解线性同余方程
③求模的逆元

1.解形如ax+by=c的不定方程

用扩展欧几里得算法求出解\(ax`+by`=gcd(a,b)\)
再分别乘上\(\frac{c}{gcd(a,b)}\)
当\(c\) \(mod\) \(gcd(a,b)\neq0\)时无解

2.解形如\(ax\equiv b(mod\) \(m)\)的线性同余方程

即$$ax-my=b$$

\[ax+m(-y)=b \]

得出：

\[ax+my=b \]

同上解除即可。

3.求\(ax\equiv1(mod\) \(m)\)

由上式子可得\(x\equiv \frac{1}{a} (mod\) \(m)\)
所以 x是a的逆元
同②得：\(ax+my=1\)
解出x即可.