浅谈LCT
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动态树问题, ，近几年在OI中兴起的一种新型问题，是一类要求维护一个有根树森林，支持对树的分割,
合并等操作的问题。由RobertE.Tarjan为首的科学家们提出解决算法Link-Cut Trees，简称lct。
本段摘自百度
要学lct，首先必要的基础必须有：
有了这些基础，我们就可以开始学习lct。
几个概念
- Preferred Child：偏好儿子
- Preferred Edge：偏好边
- Preferred Path：偏好路径
这几个概念跟树链剖分中的重儿子、重边和重链相似。唯一不同的地方就是树链剖分的重儿子、重边和重链是定的，而lct的是不定的，也就是说是没有限制的。
Auxiliary Tree(辅助树)
其实整棵lct就是又很多个散的splay tree由一些虚边连接而成的，而这些Splay tree就叫做辅助树，在程序实现的时候我们无需实现整棵lct，只需要维护所有Splay tree就好啦。
在lct里的Splay是以深度为键值建的，就是说深度浅的一定在深度深的左边。
维护什么？
- son[0~1] 表示每个节点的两个儿子
- pf表示每个节点的虚边连向的位置（当然不一定每个节点都有）
- fath 表示每个节点在Splay tree 上的父亲
其实大体上和Splay需要维护的东西不差多少，就多了一个虚边pf，这也是lct比较关键的部分。
接下来我们来了解如何实现lct
lct中的Splay
朴素的Splay操作相信大家已经了解，那在lct中我们需要做什么额外的工作吗？
void rotate(int x){
int y=t[x].fa,k=get(x);
if(t[y].fa) t[t[y].fa].son[get(y)]=x;
if(t[x].son[!k]) t[t[x].son[!k]].fa=y;
t[y].son[k]=t[x].son[!k],t[x].fa=t[y].fa,t[y].fa=x,t[x].son[!k]=y;
update(y),update(x),t[x].pf=t[y].pf;
}
rotate操作需要加上最后一句话，使得每次旋转的时候虚边都可以传递。
核心操作：access(x)
access(x)表示把从x这个点到根的路径上的点全部打成实边，并断掉下面所有的实边。
这个图应该比较形象，毕竟是杨哲集训队作业里的。
实现比较简洁明了：
Code
void access(int x){
for (int y=0;x;update(x),y=x,x=t[x].pf){
splay(x,0);
t[t[x].son[1]].fa=0,t[t[x].son[1]].pf=x;
t[x].son[1]=y,t[y].fa=x,t[y].pf=0;
}
}
每次把右儿子断开，然后连上刚刚做过的那一个点。
makeroot(x)操作
这个操作的目的就是把x变成这个lct的根。
这里用到Splay中的一个操作：翻转操作
我们首先access(x),使得它到根的路径上变到同一棵Splay上面。
此时x一定是这个Splay上最右边的点，然后就把它旋到根，做一个翻转，这样它就成为了最左边的点，也就是深度最小的点，也就是根。
实现极其简单：
Code：
void make(int x){
swap(t[x].son[0],t[x].son[1]);
t[x].tag^=1;
}
void makeroot(int x){
access(x),splay(x,0);
make(x);
}
findroot(x)操作
这是用来判断两点是否在同一个连通块上的利器，就像并查集的getfather操作一样，这个实现更简单。首先我们access(x)，这样就可以使得他和根在同一Splay上，然后直接找到Splay最左边的那个点就是了。
实现同样及其简短：
Code
int findroot(int x)
{
access(x),splay(x,0);
for (;t[x].son[0];x=t[x].son[0]);
return x;
}
Link(x,y)操作
使得x，y在lct上连接起来。
首先让x变成根，这样它就没有虚边指向的地方了。
直接上代码，太简短：
Code：
void link(int x,int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)!=x) t[x].pf=y;
}
Cut(x,y)操作
切断x，y之间的连边。
一样是首先让x变成根，然后access(y)，Splay(y,0)如果他们之间有连边那么x一定是y的儿子，直接断开。
Code：
void cut(int x,int y){
makeroot(x),access(y),splay(y,0);
if(t[x].fa==y) t[y].son[get(x)]=t[x].fa=t[x].pf=0;
}
应用：
待博主更新...
Exanple
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define maxn 300010
using namespace std;
struct Moon{
int pf,fa,son[2],key,sum,tag;
}t[maxn];
int n,m,kind,d[maxn];
void make(int x){
swap(t[x].son[0],t[x].son[1]);
t[x].tag^=1;
}
void update(int x){
t[x].sum=t[t[x].son[0]].sum^t[t[x].son[1]].sum^t[x].key;
}
void clear(int x){
if(t[x].tag){
make(t[x].son[0]),make(t[x].son[1]);
t[x].tag=0;
}
}
void remove(int x,int y){
for (d[0]=0;x!=y;x=t[x].fa) d[++d[0]]=x;
for (int i=d[0];i>=1;--i) clear(d[i]);
}
int get(int x){
return t[t[x].fa].son[1]==x;
}
void rotate(int x){
int y=t[x].fa,k=get(x);
if(t[y].fa) t[t[y].fa].son[get(y)]=x;
if(t[x].son[!k]) t[t[x].son[!k]].fa=y;
t[y].son[k]=t[x].son[!k],t[x].fa=t[y].fa,t[y].fa=x,t[x].son[!k]=y;
update(y),update(x),t[x].pf=t[y].pf;
}
void splay(int x,int y){
remove(x,y);
while(t[x].fa!=y){
if(t[t[x].fa].fa!=y)
if(get(x)==get(t[x].fa)) rotate(t[x].fa);
else rotate(x);
rotate(x);
}
}
void access(int x){
for (int y=0;x;update(x),y=x,x=t[x].pf){
splay(x,0);
t[t[x].son[1]].fa=0,t[t[x].son[1]].pf=x;
t[x].son[1]=y,t[y].fa=x,t[y].pf=0;
}
}
int findroot(int x)
{
access(x),splay(x,0);
for (;t[x].son[0];x=t[x].son[0]);
return x;
}
void makeroot(int x){
access(x),splay(x,0);
make(x);
}
int query(int x,int y){
makeroot(x),access(y);
splay(y,0);return t[y].sum;
}
void link(int x,int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)!=x) t[x].pf=y;
}
void cut(int x,int y){
makeroot(x),access(y),splay(y,0);
if(t[x].fa==y) t[y].son[get(x)]=t[x].fa=t[x].pf=0;
}
void change(int x,int y){
splay(x,0);
t[x].key=y,update(x);
}
int main(){
int i,x,y;
scanf("%d%d",&n,&m);
for (i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&t[i].key);
while(m--){
scanf("%d%d%d",&kind,&x,&y);
if(kind==0)printf("%d\n",query(x,y));
if(kind==1)link(x,y);
if(kind==2)cut(x,y);
if(kind==3)change(x,y);
}
}
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define maxn 200010
#define min(x,y) (((x)<(y))?(x):(y))
using namespace std;
struct Moon{
int pf,fa,son[2],key,size,tag;
}t[maxn];
int n,m,kind,d[maxn];
int get(int x){
return t[t[x].fa].son[1]==x;
}
void update(int x){
t[0].size=0;
t[x].size=t[t[x].son[0]].size+t[t[x].son[1]].size+1;
}
void rotate(int x){
int y=t[x].fa,k=get(x);
if(t[y].fa) t[t[y].fa].son[get(y)]=x;
if(t[x].son[!k]) t[t[x].son[!k]].fa=y;
t[y].son[k]=t[x].son[!k],t[x].fa=t[y].fa,t[y].fa=x,t[x].son[!k]=y;
update(y),update(x),t[x].pf=t[y].pf;
}
void change(int x){
swap(t[x].son[0],t[x].son[1]);
t[x].tag^=1;
}
void clear(int x){
if(t[x].tag){
change(t[x].son[0]),change(t[x].son[1]);
t[x].tag=0;
}
}
void remove(int x,int y){
for (d[0]=0;x!=y;x=t[x].fa) d[++d[0]]=x;
for (int i=d[0];i>=1;--i) clear(d[i]);
}
void splay(int x,int y){
remove(x,y);
while(t[x].fa!=y){
if(t[t[x].fa].fa!=y)
if(get(x)==get(t[x].fa)) rotate(t[x].fa);
else rotate(x);
rotate(x);
}
}
void access(int x){
for (int y=0;x;update(x),y=x,x=t[x].pf){
splay(x,0);
t[t[x].son[1]].fa=0,t[t[x].son[1]].pf=x;
t[x].son[1]=y,t[y].fa=x,t[y].pf=0;
}
}
void makeroot(int x){
access(x),splay(x,0);
change(x);
}
int query(int x){
makeroot(n+1),access(x);
splay(x,0);
return t[x].size-1;
}
void cut(int x,int y){
makeroot(x);
access(y);
splay(y,0);
t[y].son[get(x)]=t[x].fa=t[x].pf=0;
}
void link(int x,int y){
makeroot(x),t[x].pf=y;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
int i,j,x,y;
for (i=1;i<=n;++i){
scanf("%d",&t[i].key);
link(i,min(n+1,i+t[i].key));
}
scanf("%d",&m);
while(m--){
scanf("%d",&kind);
if(kind==1){
scanf("%d",&x);++x;
printf("%d\n",query(x));
}
if(kind==2){
scanf("%d%d",&x,&y);x++;
cut(x,min(n+1,x+t[x].key));
t[x].key=y;
link(x,min(n+1,x+t[x].key));
}
}
}
【NOIP2018模拟A组9.25】到不了
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define maxn 100010
#define maxm 100010
#define maxq 100010
using namespace std;
int n,m,q,tot;
int root[maxm],d[maxn];
struct Moon{
int pf,fa,son[2],tag;
}t[maxn];
int fa[maxn];
void make(int x){
swap(t[x].son[0],t[x].son[1]);
t[x].tag^=1;
}
void clear(int x){
if(t[x].tag){
make(t[x].son[0]),make(t[x].son[1]);
t[x].tag=0;
}
}
void remove(int x,int y){
for (d[0]=0;x!=y;x=t[x].fa) d[++d[0]]=x;
for (int i=d[0];i>=1;--i) clear(d[i]);
}
int get(int x){
return t[t[x].fa].son[1]==x;
}
void rotate(int x){
int y=t[x].fa,k=get(x);
if(t[y].fa) t[t[y].fa].son[get(y)]=x;
if(t[x].son[!k]) t[t[x].son[!k]].fa=y;
t[y].son[k]=t[x].son[!k],t[x].fa=t[y].fa,t[y].fa=x,t[x].son[!k]=y;
t[x].pf=t[y].pf;
}
void splay(int x,int y){
remove(x,y);
while(t[x].fa!=y){
if(t[t[x].fa].fa!=y)
if(get(x)==get(t[x].fa)) rotate(t[x].fa);
else rotate(x);
rotate(x);
}
}
int access(int x){
int z;
for (int y=0;x;y=x,x=t[x].pf){
splay(x,0);
t[t[x].son[1]].fa=0,t[t[x].son[1]].pf=x;
t[x].son[1]=y,t[y].fa=x,t[y].pf=0,z=x;
}
return z;
}
int Get(int x){
if(fa[x]==x) return x;
return fa[x]=Get(fa[x]);
}
void makeroot(int x){
access(x);
splay(x,0);
make(x);
}
void link(int x,int y){
makeroot(y);
int xx=Get(x),yy=Get(y);
if(xx!=yy) fa[xx]=yy,t[y].pf=x;
}
int findans(int x,int y){
if(Get(x)!=Get(y)) return -1;
int q=access(y);
int p=access(x);
return p;
}
int main(){
freopen("arrival.in","r",stdin);
freopen("arrival.out","w",stdout);
scanf("%d %d",&n,&m);
int i,j,x,y,kind,ans;
for (i=1;i<=m;++i) scanf("%d",&root[i]);
for (i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
for (i=1;i<=n-m;++i){
scanf("%d %d",&x,&y);
link(x,y);
}
for (i=1;i<=m;++i) makeroot(root[i]);
scanf("%d",&q);
while(q--){
scanf("%d%d%d",&kind,&x,&y);
if(kind==1){
if(Get(x)!=Get(y))link(x,y);
}
else{
ans=findans(x,y);
if(ans==-1) printf("orzorz\n");
else printf("%d\n",ans);
}
}
}
