动态规划走楼梯问题

有一条楼梯，总共有9级阶梯，从地面上出发，如果每次可以走3级，4级或6级楼梯，问共有几种方案可以走到？

解决方案一：

第一个方法比较简单，很容易想到，就是用深度搜索，我们可以反过来，把情况看出从第9层阶梯走到路面，把所有可以出现的情况都列出来，然后判断是否能到达第9级阶梯，如果可以，就把方案数加一。

代码如下：

public class DPStair {
    
    static int count=0; //计算F(n)被调用了计次
    static int F(int n)
    {
        count++;
        if(n==0) return 1;         //n等于0，恰好到达9层阶梯
        if(n<0) return 0;                        
        return F(n-3)+F(n-4)+F(n-6);  //深搜，走3级，4级，6级能到达目的地的次数相加
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int n=9;
        System.out.println(F(n)+" count="+count);
    }
}

但如果现在要求得是能到底第90级阶梯的次数呢，我用上面深搜的方法，程序大概运行了一分钟左右才得出结果，这才求90级阶梯，速度太慢了。下面用动态规划优化下这个程序。

我们把这个问题分解下，走到第9级楼梯的方案可以看出从第8级楼梯走到第9级楼梯的方案加上第7级楼梯走到第9级楼梯的方案······

走到第8级楼梯的方案可以看出从第7级楼梯走到第8级楼梯的方案加上第6级楼梯走到第8级楼梯的方案······

这样类推下来，我们可以看到，用上面的深搜方法，仔细观察下，计算第第7级楼梯走到第8级楼梯的方案 和 计算第第7级楼梯走到第9级楼梯的方案 这两次计算的重复了，也就是说我们重复计算了两次走到第7级楼梯的方案，所以我们考虑下把走到某一级楼梯的方案数记录下来，如果再次需要用到走到该级楼梯方案数的时候，就不需要再去计算，把之前记录下来的方案数取出来用就行了，代码如下：

public class Stairs {
    static int count=0;
    static int[] Sum;     //用来记录走到某级楼梯的方案数
    static int F(int n)
    {
        count++;
        if(n==0) return 1;
        if(n<0) return 0;        
        if(Sum[n]!=-1) return Sum[n];     //如果走到该级楼梯的方案数已经存在，直接取用就行，不用继续深搜计算走到该级楼梯的方案数            
        Sum[n]=F(n-3)+F(n-4)+F(n-6); //如果没有记录，计算能走到该级楼梯的方案数
        return Sum[n];   //返回方案数
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int n=90;
        Sum=new int[n+1];
        for(int i=0;i<=n;i++) Sum[i]=-1;   //初始化-1，表示走到该级楼梯的方案数还没有记录
        System.out.println(F(n)+" count="+count);
    }

}

但n=90的时候，我们运行程序，结果是秒出的，输出count的值是262,而用上面那个没有优化深搜的程序，count输出是负数，也就是已经超出了Int的最大值范围，可以比较出来优化的效果还是比较明显的