P5017题解

前言

做这道题，首先要了解 $dp$。$dp$ 一般有三个步骤（个人理解）：

1. 根据题意确定状态。
2. 根据状态的定义推出状态转移方程，一般有两种：填表法和刷表法。填表法就是普通 $dp$，用前面的状态转移到现在的状态，例：$f[i]=f[i-1]+a[i]$。刷表法就是在现有的基础上（$f[i]$ 已知），去推出 $f[k]$（$k>i$），例：$f[i+1]=f[i]+a[i]$。
3. 处理边界并输出。边界问题是 $dp$ 中非常重要的部分，且每道题的边界不同，要视题意而定。

注：此题采用刷表法。

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暴力

对于每道题，首先考虑暴力。那么这道题呢，首先你必须想到的就是需要排序，毕竟排序后车子在每个时间段接的人你才能知道。排完序后，试着用 $f[i]$ 表示前 $i$ 个人都被接走得最小等待时间。

试着推状态转移方程：$f[k]=f[i]+T(k>i)$，那么 $T$ 等于 $i+1$ ~ $k$ 的总等待时间，这里补充一下 $T$ 怎么算：$T=l\ast (k-i)-(t[k]-t[i])$，$l$ 是 $k$ 被接走的时间，$t$ 是前缀和数组，这个公式不理解没关系，请继续看下去（这是 $dp$ 的状态转移方程，在正解里我会解释）。因为我们要用到 $l$，但是我们并不知道 $k$ 是什么时候被接走的（也就是不知道 $l$），所以我们就无法算出 $T$。

当我们发现一维不行时，就定义二维状态转移方程。根据一维的推导过程中发现，是因为我们不知道 $k$ 是什么时候被接走的，才失败的。所以第二维果断定义为时间：$f[i][j]$ 表示前 $i$ 个人在 $j$ 时刻全被接走。那么我们现在就可以算出来 $f[i][j]$ 了。但是我们发现第二维是 $4\ast {10}^6$，空间和时间都爆了，但是可以拿 $50$ 分，不推荐。

正解

我们现在的问题是第二维，那么我们考虑优化第二维：细心观察数据发现，$n,m$ 都比较小，所以用他们来定义状态转移方程。再多想一点，我们发现：$f[i][j-m]$ 以下的状态都对 $f[i][j]$ 这个状态没有影响。为什么呢？原因很简单，$f[i][j-m]$ 这个状态是随着前一次车子走的，而 $f[i][j]$ 是随着这一次的车子走的（车子 $m$ 分钟来回一次）。

所以我们不妨优化定义：$f[i][j]$ 表示第 $i$ 个人等了 $j$ 分钟后前 $i$ 个人全上车的最小等待时间。

那么状态转移方程就是：$f[k][l]=f[i][j]+T$。其中 $l$ 表示第 $k$ 个人的等候时间。$T$ 表示 $i+1$ ~ $k$ 这段区间内所有人的等候时间总和。所以我们现在的问题就变成了求 $l$ 和 $T$。

1. 先看 $l$：$l$ 表示的是第 $k$ 个人的等候时间，且由 $i$转移而来，所以 $l$ 等于 $i$ 的上车时间加上车子的往返时间减去自己到达的时间（这里一定要弄懂），$i$ 的等候时间就是 $a[i]+j$，$a$ 数组表示 $i$ 到达的时间，$j$ 是 $i$ 等待时间，所以 $l=a[i]+j+m-a[k]$，其中 $a[i]+j+m$ 就是车子在送完 $i$ 后回到起点的时间，用这个时间减去 $k$ 到达的时间，不就是 $k$的等候时间吗？

2. 再看$T$：$T$ 表示 $i$~$k$ 这段区间内所有人的等候时间总和。这个也很好想，考虑一个事实，$\mathrm{总}\mathrm{的}\mathrm{等}\mathrm{待}\mathrm{时}\mathrm{间}=\mathrm{结}\mathrm{束}\mathrm{时}\mathrm{间}\ast \mathrm{人}\mathrm{数}-\mathrm{这}\mathrm{些}\mathrm{人}\mathrm{到}\mathrm{达}\mathrm{时}\mathrm{间}\mathrm{的}\mathrm{和}$。比如：结束时间为 $5$ ，有两个人，他们到达时间为 $3,4$，最后的等待时间就是 $5\ast 2-(3+4)=3$。那么这道题的结束时间就是 $a[k]+l$，就是到达时间（$a[k]$）加上等候时间（$l$），人数就是（$k-i$），他们等待时间之和可以用前缀和算出来，就是 $t[k]-t[i]$，$t$ 是前缀和数组。那么这道题也就完了呢。

3. 状态转移方程：$f[k][l]=min(f[k][l],f[i][j]+(a[k]+l)\ast (k-i)+(t[k]-t[i]))$。

4. 边界问题：先初始化为了正无穷，$f[0][0]$ 为 $0$。

5. 细节问题看代码。

AC code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
const int N=510,M=110;
int inf;
int n,m;
int f[N][M];
int a[N],t[N];
signed main(){
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    inf=f[0][0],cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    sort(a+1,a+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) t[i]=t[i-1]+a[i];
    f[0][0]=0,a[0]=-inf;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        int M=min(m-1,a[i+1]-a[i]);
		//优化时间和空间，j只用枚举到m-1，因为前面的数会跟着前面的车走
		//a[i+1]-a[i]表示这个点到下一个点的时间差，因为一旦与下一个点的距离不大于m-1，就可以同时乘坐同一次车 
        for(int j=0;j<=M;j++){
            if(f[i][j]==inf) continue; 
            for(int k=i+1;k<=n;k++){
                int l=max(a[i]+j+m-a[k],0ll);//等待时间 
                f[k][l]=min(f[k][l],f[i][j]+(a[k]+l)*(k-i)-(t[k]-t[i]));
                //状态转移方程式 
            }
        }
    }
    int ans=inf;
    for(int i=0;i<m;i++) ans=min(ans,f[n][i]);//最后取值 
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}/*
f[i][j]表示前i个人等了j时刻上车时的最小等候时间(滚动数组，降低时间与空间复杂度)
f[k][l]=min(f[k][l],f[i][j]+(t[k]+l)*(k-i)-(t[k]-t[i]));
*/

$$Thanks$$