CF147B 题解

Solution

一道十分典型的 dp 题。有三个关键点分别是定义状态、优化和答案的统计。

• 首先定义状态，定义 $f_{i,j,p}$ 表示 $i\to j$ 号节点，共走了不超过 $p$ 条边，且是 $i\to j$ 的最长路径。不超过 $p$ 条边是为了方便转移，而最长路径如果都为负环，说明需要走更多的边，实际上也是为了方便转移。但是这样是 $O(n^4)$ 转移的，所以用一个很常见的 trick 就是倍增。将状态定义变成这样：$f_{i,j,p}$ 表示 $i\to j$ 号节点，共走了不超过$2^p$ 条边，且是 $i\to j$ 的最长路径。然后状态转移便是 $O(n^3\log n)$ 的，状态转移方程为 $f_{i,j,p}=f_{i,k,p-1}+f_{k,j,p-1}$，可以类比 Floyd 算法的转移。

• 然后就是统计答案，注意在这时，你需要枚举 $p$，如果 $2^p$ 步可以达到最小正环，便继续考虑 $2^{p-1}$ 是否可行。如果不行，就累加答案，仍然继续考虑 $2^{p-1}$。

注意数组赋成 $-\mathrm{\infty }$ 以及细节的处理。